19、幂律度分布：理论、拟合与实际网络应用

幂律度分布：理论、拟合与实际网络应用

1. 幂律度分布的数学性质

幂律是一种在许多场景中出现的特殊分布函数。对于度分布而言，其重要性质之一是可归一化。考虑表达式：
[1 = p_0 + \sum_{k = 1}^{\infty} p_k = p_0 + c \sum_{k = 1}^{\infty} k^{-\gamma}]
其中 (p_0 = N_0/N) 是网络中孤立节点的比例。通常为简化计算，设 (p_0 = 0)，即忽略孤立节点。当 (\gamma > 1) 时，该级数可求和，且等于黎曼 ζ 函数。经整理可得归一化的度分布：
[p_k = \frac{k^{-\gamma}}{\sum_{k = 1}^{\infty} k^{-\gamma}} = \frac{k^{-\gamma}}{\zeta(\gamma)}, \quad \gamma > 1]
此式适用于 (k = 1, 2, \cdots)，且 (p_0 = 0)。

度分布的 (m) 阶矩定义为：
[\langle k^m \rangle = \sum_{k = 1}^{\infty} k^m p_k]
当 (m = 1) 时为平均度，(m = 2) 时为均方。对于幂律度分布，(m) 阶矩的值取决于 (m) 和 (\gamma) 的取值。具体而言，当 (\gamma < m + 1) 时，(m) 阶矩为无穷大；当 (\gamma > m + 1) 时，(m) 阶矩有限且等于：
[\langle k^m \rangle = \frac{\zeta(\gamma - m)}{\zeta(\gamma)}]
特别地，当 (\gamma