2、图与图论基础入门

图与图论基础入门

1. 图论简介

图论是一门历史悠久的数学分支，其起源可追溯到 1763 年，当时欧拉为解决著名的哥尼斯堡七桥问题首次引入了图的概念。此后，基尔霍夫和凯莱等学者的研究也源于实际物理问题。如今，图论已成为一门成熟的学科，广泛应用于计算机科学、社会学和生物学等多个领域。例如，它可用于安排飞机航线，解决管道网络中单位时间内从源到汇的最大流量问题，以及用最少的颜色为地图区域着色，确保相邻区域颜色不同。

2. 什么是图

2.1 离散数学与图论

对复杂网络进行精确数学处理的自然框架是离散数学中的图论。离散数学主要研究本质上离散的数学结构，即由不同部分组成，不支持或不需要连续性概念的结构。离散数学中的许多对象是可数集，如整数和有限图。近年来，离散数学因其在计算机科学中的应用而变得流行，其概念和符号常用于研究或描述计算机算法和编程语言中的对象或问题。

2.2 图的示例引入

示例 2.2.1：派对上的朋友关系

假设有七个人被邀请参加派对，分别是亚当、贝蒂、辛迪、大卫、伊丽莎白、弗雷德和乔治。在派对前，亚当认识贝蒂、大卫和弗雷德；辛迪认识贝蒂、大卫、伊丽莎白和乔治；大卫认识贝蒂（当然也认识亚当和辛迪）；弗雷德认识贝蒂（当然也认识亚当）。我们可以用点表示人，用线表示两人之间的相识关系。如果两点之间有连线，则表示两人在派对前相互认识。这种表示方法体现了两人之间关系的对称性，即如果“A”认识“B”，那么“B”也认识“A”。而且，在图中重要的是两人是否相连，而不是图的具体绘制方式。

示例 2.2.2：欧洲地图

欧洲约有 50 个国家，图中展示了其中 23