19、特征值与特征向量计算方法详解

特征值与特征向量计算方法详解

1. 引言

在科学与工程领域中，特征值问题具有重要的实际意义。计算矩阵的特征值和特征向量是解决许多问题的关键步骤，本文将详细介绍几种计算特征值和特征向量的方法，包括特征多项式法、幂法和简单QR方法，并给出相应的示例和代码。

2. 特征多项式法

特征多项式法是计算矩阵特征值的基本方法。对于矩阵 $A$，其特征多项式 $p(\lambda)$ 是通过计算矩阵 $A - \lambda I$ 的行列式得到的，其中 $I$ 是单位矩阵。特征值就是特征多项式的根，即 $p(\lambda) = 0$ 的解。

2.1 示例

考虑矩阵 $A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \ -5 & -2 \end{bmatrix}$，其特征多项式为：
[
\begin{align }
p(\lambda) &= \begin{vmatrix} 4 - \lambda & 1 \ -5 & -2 - \lambda \end{vmatrix}\
&= (4 - \lambda)(-2 - \lambda) + 5\
&= \lambda^2 - 2\lambda - 3\
&= (\lambda - 3)(\lambda + 1)
\end{align }
]
令 $p(\lambda) = 0$，解得特征值 $\lambda = 3$ 和 $\lambda = -1$。

2.2 局限性

对于大型矩