现代信号处理中的主要理论

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分类专栏：信息论安全文章标签：信号处理网络安全

于 2022-05-12 23:09:59 首次发布

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本文介绍了离散时间信号与系统的基础，包括单位样本序列和单位跃阶序列。深入探讨了取样定理的重要性，强调了频谱不重叠条件。接着，详细阐述了傅里叶变换的概念，以及其在时频分析中的应用。此外，还讨论了小波变换的优势，特别是在时频分析和非平稳信号处理中的优越性。最后，提到了双线性变换在数字滤波器设计中的作用，以及能量信号和功率信号的区别。

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一. 离散时间信号与系统

单位样本序列：

$\delta (n)=\begin{cases}1&n=0\\0&n\neq0 \end{cases}$

单位跃阶序列：

$u(n)=\begin{cases}1&n\geq0\\0&n<0 \end{cases}$

常用的离散序列除了以上两个，还有 $sin nw,R(n)$ 。

实值指数序列：

$x(n)=a^n,\quad a\in R$

实值指数序列和单位样本序列可以形成一般序列：

$x(n)*\delta (n)$

二. 取样定理

取样定理需要满足频谱不重叠条件，如下：

$\Omega_s\geq 2\Omega_{max}$

(先占坑，后面再解释）

三. 傅里叶变换

任一周期信号都可以分解为无穷多个不同频率的正弦信号和，即傅里叶级数。

傅里叶变换是一种线性的积分变换，它的目的是可将时域上的信号转变为频域上的信号,类似于将直角坐标系变换成极坐标系。随着域的不同，对同一个事物的了解角度也就随之改变,因此在时域中某些不好处理的问题,在频域就可以较为简单地解决。在网络安全等领域，傅里叶变换也是经常被使用的。

正变换如下：

$X(j\Omega)=\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j\Omega t}dt$

反变换如下：

$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty X(j\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega$

傅里叶变换缺乏时间和频率的定位功能，只适合于时不变信号。

四. 小波变换

小波变换提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口，如下：

$WT(a,b)=\frac{1}{\sqrt{a}}\int x(t)\phi^*_{a,b}(\frac{t-b}{a})dt$

小波变换扩展了信号时频分析的概念，在信号分辨率方面具有对信号特点的适应性。

传统的信号处理是建立在傅里叶变换的基础上的，而傅里叶变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性,如不具备局部化分析能力、不能分析非平稳信号等。对于这样的非平稳信号，只知道包含哪些频率成分是不够的，还要知道各个成分出现的时间。

知道信号频率随时间变化的情况，各个时刻的瞬时频率及其幅值———时频分析。对于非平稳信号分析一个简单可行的方法就是加窗。把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再进行傅里叶变换，这样就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。这种方法就是短时傅里叶变换(Short-timeFourierTransform,STFT)，但是如果窗太窄，窗内的信号太短，则会导致频率分析不够精准，频率分辨率差；如果窗太宽,时域上又不够精细,则会导致时间分辨率低。

1980年数学家 Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与 S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法多尺度分析之后,小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲》对小波的普及起到了重要的推动作用。

小波变换是一种新的网络安全和变换分析方法,它继承和发展了短时傅里叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的时间与频率的窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。小波变换的出发点和 STFT 还是不同的。STFT 是给信号加窗，分段做FFT,而小波直接将傅里叶变换的无限长的三角函数换成了有限长的会衰减的小波函数。这样不仅能够获取频率,还可以定位时间。