MATLAB编程与数学问题实践解析

1、在命令行给变量 a 和 b 赋值，例如 a = 3，b = 5。编写一些语句来计算 a 和 b 的和、差、积和商。

以下是在 MATLAB 命令行实现的语句：

a = 3;
b = 5;
sum_ab = a + b;
diff_ab = a - b;
prod_ab = a * b;
quot_ab = a / b;

执行上述语句后：

• sum_ab 是和
• diff_ab 是差
• prod_ab 是积
• quot_ab 是商

2、在命令行为变量 x 赋值，例如 x = 4 * π²。x 的平方根是多少？x 的平方根的余弦值是多少？

首先计算 $ x $ 的平方根，若 $ x = 4 \cdot \pi^2 $，那么
$$
\sqrt{x} = \sqrt{4 \cdot \pi^2} = 2\pi
$$

然后计算其平方根的余弦值，即
$$
\cos(2\pi)
$$

根据三角函数知识，
$$
\cos(2\pi) = 1
$$

所以 $ x $ 的平方根是 $ 2\pi $，$ x $ 的平方根的余弦值是 $ 1 $。

3、在命令行给变量 y 赋值，令 y = -1。求 y 的平方根是多少？证明该结果表明 MATLAB 能处理复数（而非仅实数）。说明为什么符号 i 不应用作索引或变量名，同时指出在 MATLAB 中另一个表示 √−1 的符号以及该符号也不应作索引或变量名的原因。举例说明在数学和科学学习中是如何使用复数的。

y = -1 的平方根为 ±i，这表明 MATLAB 可以处理复数。在 MATLAB 中，默认情况下 i 等于 -1 的平方根，所以 i 不应用作索引或变量名，否则会造成混淆。此外，MATLAB 中也用 j 表示 √−1，所以 j 同样不应用作索引或变量名。在交流电路分析中，常使用复数来表示电压和电流，能简化计算。例如，交流电压可以表示为 V = V₀cos(ωt + φ)，用复数形式表示为 V = V₀e^(i(ωt + φ))，方便进行相位和幅度的计算。

4、本例中的结构规划定义了一个几何构造。通过绘制图形来执行该规划：1. 绘制两条相互垂直的 x 轴和 y 轴；2. 绘制点 A(10, 0) 和点 B(0, 1)；3. 当点 A 不与原点重合时，重复以下操作：绘制连接点 A 和点 B 的直线，将点 A 沿 x 轴向左移动一个单位，将点 B 沿 y 轴向上移动一个单位；4. 结束。

按照以下步骤进行绘制：

1. 先画两条相互垂直的直线，分别标记为 x 轴和 y 轴；
2. 在 x 轴上找到坐标为 (10, 0) 的点标记为 A，在 y 轴上找到坐标为 (0, 1) 的点标记为 B；
3. 只要点 A 不与原点重合，就连接 A、B 两点形成直线，然后将 A 点向左移动一个单位，B 点向上移动一个单位，重复此操作；
4. 当 A 点移动到原点时，停止绘制。

5、考虑以下结构计划，其中M和N代表MATLAB变量：1. 设置M = 44，N = 28；2. 当M不等于N时重复执行：当M > N时，将M的值替换为M - N；当N > M时，将N的值替换为N - M；3. 显示M；4. 结束。(a) 逐步执行该结构计划，记录执行过程中M和N的值，并给出输出结果。(b) 对M = 14和N = 24重复(a)的操作。(c) 该算法执行的是何种通用算术过程（如有必要，尝试更多M和N的值）？

(a) 初始 M = 44，N = 28。
第一次循环：
- M > N，M = 44 - 28 = 16
- 此时 N > M，N = 28 - 16 = 12
- 接着 M > N，M = 16 - 12 = 4

然后进入第二次循环：
- N > M，N = 12 - 4 = 8
- 接着 N > M，N = 8 - 4 = 4

此时 M = N = 4，循环结束，输出 M 的值为 4。

(b) 初始 M = 14，N = 24。
第一次循环：
- N > M，N = 24 - 14 = 10
- 接着 M > N 不成立，N > M，N = 10 - 14 不成立
- M > N，M = 14 - 10 = 4

然后 N > M，N = 10 - 4 = 6
接着 N > M，N = 6 - 4 = 2
接着 M > N，M = 4 - 2 = 2

此时 M = N = 2，循环结束，输出 M 的值为 2。

(c) 该算法执行的是求两个数的最大公约数的过程。

6、编写一个脚本，输入任意两个数字（可能相等），用合适的消息显示较大的那个数字；如果它们相等，则显示相应的消息。

以下是一个满足要求的 MATLAB 脚本示例：

% 提示用户输入两个数字
num1 = input('请输入第一个数字: ');
num2 = input('请输入第二个数字: