[SMOJ1773]原子弹

题目描述

最近，火星研究人员发现了 $N$ 个强大的原子。他们互相都不一样。这些原子具有一些性质。
当这两个原子碰撞时，其中一个原子会消失，产生大量的能量。
研究人员知道每两个原子在碰撞时的能释放的能量。
你要写一个程序，让它们碰撞之后产生最多的总能量。

输入格式 1773.in

有多组数据。每组数据下的第一行是整数 $N$（$2 \leq N \leq 10$），这意味着有 $N$ 个原子：$A_1$ 到 $A_N$。
然后下面有 $N$ 行，每行有 $N$ 个整数。
在第 $i$ 行中的第 $j$ 个整数表示当i和j碰撞之后产生的能量，并且碰撞之后j会消失。
所有整数都是正数，且不大于10000。
输入以 $n=0$ 结尾。
输入数据不超过500个。

输出格式 1773.out

输出 $N$ 个原子碰撞之后产生的最大总能量。

输入样例 1773.in

2
0 4
1 0
3
0 20 1
12 0 1
1 10 0
0

输出样例 1773.out

4
22

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//想想也有 6 个月没写状压了，汗……

这题是状压 dp 的入门题。关于状压 dp，另外写一篇再系统总结一下，现在只讲讲这题。

题目大意是这样的：有 $n$ 个原子，给出每两个原子之间碰撞产生的能量。当两个原子碰撞后会产生一定的能量，且第二个原子会消失。（即 $w[i,j]$ 不一定等于 $w[j,i]$）求它们碰撞之后产生的最大总能量。

由于能量都是正数，那么显然产生最大总能量时，最后一定只剩下一个原子；否则可以将剩下的原子再进行碰撞，总能量还会更大。

既然如此，那么我们就知道了，要碰撞 $n-1$ 次，这些碰撞先后进行，原子的数量越来越少，满足 dp 的要求。

状态的表示呢？如果仅仅以原子的数量作为阶段，我们只知道当前剩下多少原子，却不知道是哪些原子。因此还必须记下当前的原子“存留”状态（我这么称呼它），每一个原子无非是“还存在”或“已经消失”这两种情况，这就很符合状态压缩的特征了。

不妨用 $f[i]$ 表示碰撞前状态为集合 $i$ 的最大总能量，那么就有

$$f[i]=max\left\{f[j]+w[a,b]\right\}\; \text{while} \: a,b\in i \: \text{and} \: a \in j \: \text{and} \: b \notin j$$

现在有个很严肃的问题。为什么是碰撞前而不能是碰撞后呢？

我们知道，如果按“碰撞后”考虑，那么我们要求的答案就是某个 $f[2^k]$ 的最大值，而我们转移的时候，状态不断变小，取值反而要依赖于后面，这显然是不合理的。

但如果反其道而行之，按“碰撞前”考虑，答案就是唯一的 $f[2^n-1]$，而且在转移过程中，不断用前面已经求得的小的来改进自己这个大的，这就很好办了。

时间复杂度为 $O(2^n\times n^2)$。

参考代码：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int maxn = 10 + 5;

int n;
int p[maxn][maxn];
int dp[1 << maxn];

int main(void) {
    freopen("1773.in", "r", stdin);
    freopen("1773.out", "w", stdout);
    while (~scanf("%d", &n)) {
        if (!n) break;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = 0; j < n; j++)
                scanf("%d", &p[i][j]);
        memset(dp, 0, sizeof dp); //多组数据清零！！
        int upperLim = 1 << n; //上限，即2^n
        for (int i = 1; i < upperLim; i++) { //碰撞前是集合j，其实可以从3开始取
            for (int j = 0; j < n; j++) //第一颗原子
                for (int k = 0; k < n; k++) //第二颗原子
                    if (j != k && p[j][k] > 0 && ((1 << j) & i) > 0 && ((1 << k) & i) > 0) dp[i] = max(dp[i], dp[i - (1 << k)] + p[j][k]);
                    //一些限制，依次是：两个原子不相等，它们爆炸产生正数的能量，碰撞前有这两个原子
        }
        printf("%d\n", dp[upperLim - 1]); //碰撞前是满的情况，就是答案
    }
    return 0;
}

PS：SMOJ 上这题第11~15个数据点是我出的^_^