[SMOJ1769]篮球赛

题目描述

一年一度的高一YL杯超级篮球赛开赛了。当然，所谓超级，意思是参赛人数可能多余5人。小三对这项篮球非常感兴趣，所以一场都没有落下。每个中午都准时守侯在篮球场看比赛。经过一个星期的研究，小三终于对篮球的技战术找到了一丝丝感觉了。他发现打YL杯的每个班都有一套相似的进攻战术：

1. 控球后卫带球到前场，找到一个最佳攻击点$( x , y )$
2. 所有除控卫以外的队员都从各自的当前位置迅速向 $( x , y )$ 移动
3. 控球后卫根据场上情况组织进攻 这个战术对于一般情况是非常奏效的，但是每个队员毕竟不像小三一样每天精力过剩，每个队员都有一个疲劳指数$W$，显然对于每个队员的移动需要消耗一些能量。 假设一个队员从位置 $( x_1 , y_1 )$ 移动到 $( x , y )$的能量消耗为 $w \times (| x - x_1 +| y - y_1 | )$, 这里$||$为绝对值符号。

那么我们希望整个队伍一次进攻的能量消耗当然是越少越好。显然能量消耗的多少直接取决于控球后卫对于攻击点 $( x , y )$的选择。 因为参赛人数众多，所以小三希望你能编写一个程序，即帮他找出某个时刻的最佳攻击点。

输入格式 1769.in

第一行：一个整数$N$（$N \leq 50000$），表示篮球队人数.
第二行：一共$N$个整数，其中的第$i$个数$W_i$表示第$i$个队员的疲劳指数。
第3~$N+2$行：每一行两个整数$X$和$Y$，其中的第$i+2$行，表示第$i$个队员的当前位置的横坐标和纵坐标。

输出格式 1769.out

一个实数。表示所有队员集合到最佳攻击位置的能量消耗总和，答案保留两位小数。

输入样例 1769.in

1
1
0 0

输出样例 1769.out

0.00

---

简单地概括题意，其实就是给定 $n$ 个点，其中每个点的坐标为 $(x_i,y_i)$，要求找到某个点 $(X,Y)$，使

$$\sum_{i=1}^{n}w_i\times(|x_i-X|+|y_i-Y|)$$ 最小。

这题初看时并没有思路，于是先后尝试了几种不同的做法。（给的这样例真是考验人……）

猜想一：乱枚举。假设最优点必定在给定点中，逐一枚举并找出最优解。
时间复杂度：$O(n^2)$ 。得分：0。

猜想二：强行考虑所有$w=1$，于是最优点取$(\frac {\sum{x_i}}{n},\frac{\sum{y_i}}{n})$。
//update:就算是w=1这个思路也是错的，应该取中位数——2017/4/11
时间复杂度：$O(n)$ 。得分：0。

经过几番乱搞，最终还是在 oql 的提示下才得到了正解。

事实上，如果我们考虑式子中的$w_i$ 部分，显然它是必须乘上的权值，无可避免。

于是我们的任务就转化成了使

$$\sum_{i=1}^{n}(|x_i-X|+|y_i-Y|)$$ 最小。

不难看出，其中 $x$ 和 $y$ 的部分各自独立，互不影响。
换言之，问题转化为分别使

$$\sum_{i=1}^{n}|x_i-X|$$ 和 $$\sum_{i=1}^{n}|y_i-Y|$$ 最小。

这不就是取一个中位数吗？！

但是要注意，取中位数的时候，$w$是会对取值造成影响的。原则上$w$越大，影响越大。也就是说，取中位数的时候，下标应该基于

$$\sum{w_i}$$ 而不是输入的$n$。

这样一来，其实也可以看作：把权值为$w$的点，拆分成$w$个权值为1且坐标相同的点。

时间复杂度：$O(n\text{log}_2n)$。但是交的时候还是没有注意 SMOJ 在 Linux 下评测的细节，一开始用 %I64d 输出了 long long，导致只有 10 分。这是应该避免的。

参考代码：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int maxn = 5e4 + 100;

struct Tplayer {
    int w;
    int x, y;
} p[maxn];

int n;

bool sortByX(Tplayer A, Tplayer B) { //按x排序，下同理
    return A.x < B.x;
}

bool sortByY(Tplayer A, Tplayer B) {
    return A.y < B.y;
}

int main(void) {
    freopen("1769.in", "r", stdin);
    freopen("1769.out", "w", stdout);

    scanf("%d", &n);
    int wSum = 0; //根据权值总和取中位数
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &p[i].w);
        wSum += p[i].w;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d%d", &p[i].x, &p[i].y);

    int tmp, px, py;

    sort(p, p + n, sortByX);
    tmp = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        tmp += p[i].w;
        if (tmp << 1 >= wSum) { //恰好是中间的点，取它的x，下同理
            px = p[i].x;
            break;
        }
    }

    sort(p, p + n, sortByY);
    tmp = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        tmp += p[i].w;
        if (tmp << 1 >= wSum) {
            py = p[i].y;
            break;
        }
    }

    long long ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) ans += p[i].w * (abs(p[i].x - px) + abs(p[i].y - py));

    printf("%lld.00\n", ans);

    return 0;
}

由此我体会到，有些时候我们难以直接想到正解，不妨从多个角度考虑一下，在尝试中调整不当之处，最终得到正解。

当然，在真正的比赛中，我们无从得知自己当前做法的优劣，因此最重要的还是要重视平时的练习，把思维开拓起来。

//======补充======2017/4/11 讲评后
昨晚 lgj 给我们分析了一下，先从最原始的一维情况入手。把一维的道理搞懂了，其余的自然就迎刃而解。

考虑数轴上顺次排列的 $n$ 个点，要求取一点，使所有点到达该点的移动距离总和最小。

本来我的想法是把所有点的坐标加起来，再除以$n$，但是后来发现这个想法是错的。

举例说明为什么是取中位数：

如图，现在我们有6个点，先假设取红色所示这个点。它会不会是最优的呢？

不妨记取红色点时，所有点的移动距离总和为 $sum$，那么我们把点稍向右移试试看。

可以看到，把选定点移到橙色位置后，点A多走了 $d$，B相对多走了一个单位长度，其余四个点都少走了 $d$，新的距离总和为 $sum+d-4d+1=sum-3d+1$，比之前的解更优秀！

同理，我们不断向右移，最终可以发现，在 $[C,D]$ 区间内的点都是最优秀的，且都一样优秀。

至于奇数个点的情况类似，但最优点唯一。这就是一维的情况。

同理，对于二维，也可以分别考虑 $x$ 和 $y$，取所有点的 $x$ 值中位数和所有点的 $y$ 值中位数，即为所求点。

那么，有权值的情况呢？

如果同样用上面的情况举例，设6个点的权值分别为 $w_1,w_2,\ldots,w_6$。

那么从图1到图2，A 多走了$w1\times d$，B 多走了 $w2\times 1$，其余四个点共少走了 $(w3+w4+w5+w6)\times d$，可以计算出新的距离总和。

如果我们把 A 到 F 内的整点都取一次，计算它们的距离总和，其实可以发现是在中间有一个最低值，而越往两边越大。（类比二次函数图象）

那么，从最左边开始取点，不断更新，如果再往右还会比当前更优秀，就再往右；否则当前就是最优解了。整合一下其实就是取一个带权的中位数。