[SMOJ2217]摩天楼

最新推荐文章于 2025-04-02 07:51:43 发布

无名蒟蒻

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分类专栏：解题报告 SMOJ 矩阵乘法递推DP

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u013686535/article/details/77370814

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本文介绍了一道编程题目——SMOJ2217摩天楼，探讨了如何通过直接DP解决，但发现其效率低下。接着，文章详细解释了如何运用矩阵乘法和矩阵快速幂来优化DP，降低时间复杂度到O(NBY)，并提供了相关代码示例，强调了解决这类问题的关键在于找出线性常系数递推关系。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

40%：直接 DP
刚读题的时候第一感觉：这不是很像我在《<数谜>解题报告》里面提到的弱化版问题嘛，搞个无脑 DP，做法很显然。然而我却忽略了最重要的数据范围。
记 $f[i][j]$ 为前 $i$ 层组成的数 $X'$ 使 $X'\mod Y=j$ 的方案数，容易推出状态转移方程：

f [i + 1] [(10 j + A k) mod Y] = f [i + 1] [(10 j + A k) mod Y] + f [i] [j]

$f[i+1][(10j+A_k)\mod Y]=f[i+1][(10j+A_k)\mod Y]+f[i][j]$

直接根据这个方程进行转移，时间复杂度是 $O(NBY)$ 的。
参考代码：

//2217.cpp
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const long long Aspe = 1000000007;
const long long MAXN = 5e4 + 100;
const long long MAXY = 100 + 10;

long long N, B, Z, Y;
long long A[MAXN], f[2][MAXY];
pair <long long, long long> C[MAXY];

int main(void) {
    freopen("2217.in", "r", stdin);
    freopen("2217.out", "w", stdout);
//  scanf("%d%d%d%d", &N, &B, &Z, &Y);
    cin >> N >> B >> Z >> Y;
    for (long long i = 0; i < N; i++) { cin >> A[i]; /*scanf("%d", &A[i]);*/ ++f[0][A[i] %= Y]; }
    sort(A, A + N);
    long long cur = 0, cnt = 0, M = 0;
    for (long long i = 0; i < N; i++)
        if (A[i] == A[cur]) ++cnt; else { C[M++] = make_pair(A[cur], cnt); cur = i; cnt = 1; }
    C[M++] = make_pair(A[cur], cnt);
//  f[0][0] = 1;
    for (long long i = 0; i + 1 < B; i++)
        for (long long j = 0; j < Y; j++)
            if (f[i & 1][j]) {
                for (long long k = 0; k < M; k++) (f[(i + 1) & 1][(j * 10 + C[k].first) % Y] += f[i & 1][j] * C[k].second % Aspe) %= Aspe;
                f[i & 1][j] = 0;
            }
//  printf("%d\n", f[(B - 1) & 1][Z]);
    cout << f[(B - 1) & 1][Z] << endl;
    return 0;
}

100%：
上面的 DP 并没有大的问题，但就是效率低下，需要考虑对其进行优化。常见的 DP 优化手段？降维？不能再压了。单调性和斜率优化，这题显然不满足。
此时就需要用到矩阵乘法。接下来以样例 1 进行说明。
不妨将 $f[i]$ 的值保存在 1 行 Y 列的矩阵 A 中：