[SMOJ1711]多滋味的咖啡

题目描述

有 $N$ 头奶牛围绕着一个圆桌坐着，农夫FJ有 $N$ 杯咖啡，第 $i$ 杯咖啡的口味是 $taste_i$，其中 $taste_i$ 是 Ａ 或 Ｂ 或 Ｃ 三个字母之一。FJ给每头奶牛分配一杯咖啡（注意：第 $i$ 头奶牛不一定是得到第 $i$ 杯咖啡，这是由农夫FJ决定的事情），FJ有一个条件：相邻的两头奶牛不能得到相同口味的咖啡，那么FJ总共有多少种不同的分配方案呢？答案模1,000,000,007。

输入格式 1711.in

　多组测试数据。
第一行，一个整数 $G$，表示有 $G$ 组测试数据。$1 \leq G \leq 5$。
每组测试数据格式如下：
第一行，一个整数 $N$ 。$３ \leq N \leq 50$。
第二行，$N$ 个大写字母，第 $i$ 个字母表示第 $i$ 杯咖啡的口味。

输出格式 1711.out

共 $G$ 行，每行一个整数。

输入样例 1711.in

4
4
ABAB
5
ABABA
3
ABC
35
BCBABBACBABABCCCCCAABBAACBBBBCBCAAA

输出样例 1711.out

2
0
6
741380640

样例解释

第一组测试数据：
方案一：
第１头奶牛Ａ，第２头奶牛Ｂ，第３头奶牛Ａ，第４头奶牛Ｂ。
方案二：
第１头奶牛B，第２头奶牛A，第３头奶牛B，第４头奶牛A。

---

首先明确一点，我们的任务是给奶牛安排咖啡，因此我们关心的是如何分配，即各口味的咖啡数量是我们重点考虑的内容，因此输入时只需统计各口味的咖啡数量即可，位置不造成影响。

看到方案计数类问题，很自然地就会联想到dp。如何表示状态呢？如果只记录当前奶牛编号 $i$ 和当前咖啡口味 $j$ 的话，显然是没有办法进行转移的，因为我们只知道下一杯应当放哪些口味，但却不确定能不能放这种口味，原因是各口味咖啡剩余数量不得而知。顺理成章地就会想到要再加上三种咖啡各自的剩余数量。

于是我们用 $f[i][j][A][B][C]$ 表示到前 $i$ 头奶牛，其中第 $i$ 头奶牛取口味 $j$ 的咖啡，A 口味咖啡剩余 $A$ 杯，B口味剩余 $B$ 杯，C口味剩余 $C$ 杯时的方案数。考虑到是一张圆桌，相邻的又不能相同，那么第一杯是会影响最后一杯的。因此所求即为 $f[N][i][A'][B'][C'] + f[N][j][A'][B'][C']$，其中 $i$ 和 $j$ 是需要根据第一杯咖啡的口味进行分类讨论的， $A'$ 表示A种口味咖啡的总数量，依此类推。

状态的转移也非常容易，进行简单的分类讨论即可，共有6种情况：
- 第 $i$ 杯取 A 口味，第 $i+1$ 杯取 B 口味
- 第 $i$ 杯取 A 口味，第 $i+1$ 杯取 C 口味
- 第 $i$ 杯取 B 口味，第 $i+1$ 杯取 A 口味
- 第 $i$ 杯取 B 口味，第 $i+1$ 杯取 C 口味
- 第 $i$ 杯取 C 口味，第 $i+1$ 杯取 A 口味
- 第 $i$ 杯取 C 口味，第 $i+1$ 杯取 B 口味
再注意一下对杯数的限制，就可以了。总的时间复杂度为 $O(n^4)$ （分类讨论不计）。

参考代码：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const long long mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 52;

int n;
int cnt[3];
int dp[maxn][3][maxn][maxn][maxn];

int main(void) {
    freopen("1711.in", "r", stdin);
    freopen("1711.out", "w", stdout);
    int g;
    cin >> g;
    while (g--) {
        int n;
        cin >> n;
        memset(cnt, 0, sizeof cnt);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            char ch;
            cin >> ch;
            ++cnt[ch - 'A'];
        }
        long long ans = 0;
        for (int start = 0; start < 3; start++) { //枚举第一杯咖啡的口味
            if (!cnt[start]) continue; //没有此种咖啡，不考虑此种情况
            memset(dp, 0, sizeof dp);
            if (start == 0) dp[0][0][1][0][0] = 1;
            else if (start == 1) dp[0][1][0][1][0] = 1;
            else dp[0][2][0][0][1] = 1;
            //以下是各种分类讨论
            for (int i = 0; i + 1 < n; i++) {
                for (int a = 0; a < cnt[0]; a++)
                    for (int b = 1; b <= cnt[1]; b++)
                        for (int c = 0; c <= cnt[2]; c++) {
                            dp[i + 1][0][a + 1][b][c] += dp[i][1][a][b][c];
                            dp[i + 1][0][a + 1][b][c] %= mod;
                        }
                for (int a = 0; a < cnt[0]; a++)
                    for (int b = 0; b <= cnt[1]; b++)
                        for (int c = 1; c <= cnt[2]; c++) {
                            dp[i + 1][0][a + 1][b][c] += dp[i][2][a][b][c];
                            dp[i + 1][0][a + 1][b][c] %= mod;
                        }
                for (int a = 1; a <= cnt[0]; a++)
                    for (int b = 0; b < cnt[1]; b++)
                        for (int c = 0; c <= cnt[2]; c++) {
                            dp[i + 1][1][a][b + 1][c] += dp[i][0][a][b][c];
                            dp[i + 1][1][a][b + 1][c] %= mod;
                        }
                for (int a = 0; a <= cnt[0]; a++)
                    for (int b = 0; b < cnt[1]; b++)
                        for (int c = 1; c <= cnt[2]; c++) {
                            dp[i + 1][1][a][b + 1][c] += dp[i][2][a][b][c];
                            dp[i + 1][1][a][b + 1][c] %= mod;
                        }
                for (int a = 1; a <= cnt[0]; a++)
                    for (int b = 0; b <= cnt[1]; b++)
                        for (int c = 0; c < cnt[2]; c++) {
                            dp[i + 1][2][a][b][c + 1] += dp[i][0][a][b][c] %= mod;
                            dp[i + 1][2][a][b][c + 1] %= mod;
                        }
                for (int a = 0; a <= cnt[0]; a++)
                    for (int b = 1; b <= cnt[1]; b++)
                        for (int c = 0; c < cnt[2]; c++) {
                            dp[i + 1][2][a][b][c + 1] += dp[i][1][a][b][c];
                            dp[i + 1][2][a][b][c + 1] %= mod;
                        }
            }
            if (start == 0) (ans += (dp[n - 1][1][cnt[0]][cnt[1]][cnt[2]] + dp[n - 1][2][cnt[0]][cnt[1]][cnt[2]]) % mod) %= mod;
            else if (start == 1) (ans += (dp[n - 1][0][cnt[0]][cnt[1]][cnt[2]] + dp[n - 1][2][cnt[0]][cnt[1]][cnt[2]]) % mod) %= mod;
            else (ans += (dp[n - 1][0][cnt[0]][cnt[1]][cnt[2]] + dp[n - 1][1][cnt[0]][cnt[1]][cnt[2]]) % mod) %= mod;
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}