注：本文为 “流体力学基本方程” 相关合辑。
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如有内容异常，请看原文。
基于本科知识的流体力学基本方程推导
wuyao-hit 于 2019-08-24 20:37:08 发布
连续性方程
推导过程
取笛卡尔坐标系下的微小控制体，分析其质量守恒关系。
-
各方向质量通量分析
-
y 方向：
t 时刻，
通过控制体左侧面 abcd 流入的质量为 [ ρ v y − 1 2 ∂ ( ρ v y ) ∂ y d y ] d x d z d t \left[ \rho v_y - \frac{1}{2} \frac{\partial (\rho v_y)}{\partial y} dy \right] dx dz dt [ρvy−21∂y∂(ρvy)dy]dxdzdt；
通过右侧面 efgh 流出的质量为 [ ρ v y + 1 2 ∂ ( ρ v y ) ∂ y d y ] d x d z d t \left[ \rho v_y + \frac{1}{2} \frac{\partial (\rho v_y)}{\partial y} dy \right] dx dz dt [ρvy+21∂y∂(ρvy)dy]dxdzdt。 -
y 方向质量损失为两者差值：
Δ m y = ∂ ( ρ v y ) ∂ y d x d y d z d t \Delta m_y = \frac{\partial (\rho v_y)}{\partial y} dx dy dz dt Δmy=∂y∂(ρvy)dxdydzdt
-
同理，
x 方向质量损失： Δ m x = ∂ ( ρ v x ) ∂ x d x d y d z d t \Delta m_x = \frac{\partial (\rho v_x)}{\partial x} dx dy dz dt Δmx=∂x∂(ρvx)dxdydzdt
z 方向质量损失： Δ m z = ∂ ( ρ v z ) ∂ z d x d y d z d t \Delta m_z = \frac{\partial (\rho v_z)}{\partial z} dx dy dz dt Δmz=∂z∂(ρvz)dxdydzdt
-
-
控制体内质量变化
控制体密度随时间变化，t 至 t+dt 时间内，密度变化 (从 ρ \rho ρ 到 ρ + ∂ ρ ∂ t d t \rho + \frac{\partial \rho}{\partial t} dt ρ+∂t∂ρdt) 引起的质量增量为 Δ m t = ∂ ρ ∂ t d x d y d z d t \Delta m_t = \frac{\partial \rho}{\partial t} dx dy dz dt Δmt=∂t∂ρdxdydzdt。 -
质量守恒方程
根据质量守恒定律，控制体内质量增量与各方向质量损失之和为零：Δ m t + ( Δ m x + Δ m y + Δ m z ) = 0 Δmt+(Δmx+Δmy+Δmz)=0 Δmt+(Δmx+Δmy+Δmz)=0，即
∂ ρ ∂ t d x d y d z d t + [ ∂ ( ρ v x ) ∂ x + ∂ ( ρ v y ) ∂ y + ∂ ( ρ v z ) ∂ z ] d x d y d z d t = 0 \frac{\partial \rho}{\partial t} dx dy dz dt + \left[ \frac{\partial (\rho v_x)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v_y)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho v_z)}{\partial z} \right] dx dy dz dt = 0 ∂t∂ρdxdydzdt+[∂x∂(ρvx)+∂y∂(ρvy)+∂z∂(ρvz)]dxdydzdt=0
消去公共项 d x d y d z d t dx dy dz dt dxdydzdt，得：
∂ ρ ∂ t + ∂ ( ρ v x ) ∂ x + ∂ ( ρ v y ) ∂ y + ∂ ( ρ v z ) ∂ z = 0 (a.0.10) \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho v_x)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v_y)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho v_z)}{\partial z} = 0 \tag{a.0.10} ∂t∂ρ+∂x∂(ρvx)+∂y∂(ρvy)+∂z∂(ρvz)=0(a.0.10)
引入散度算子 ∇ = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) \nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) ∇=(∂x∂,∂y∂,∂z∂)，向量形式为：
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v ) = 0 (a.0.10a) \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho v) = 0 \tag{a.0.10a} ∂t∂ρ+∇⋅(ρv)=0(a.0.10a) -
全导数形式转换
利用物质导数定义 d ρ d t = ∂ ρ ∂ t + v x ∂ ρ ∂ x + v y ∂ ρ ∂ y + v z ∂ ρ ∂ z \frac{d \rho}{d t} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + v_x \frac{\partial \rho}{\partial x} + v_y \frac{\partial \rho}{\partial y} + v_z \frac{\partial \rho}{\partial z} dtdρ=∂t∂ρ+vx∂x∂ρ+vy∂y∂ρ+vz∂z∂ρ，结合连续性方程可得：
d ρ d t + ρ ( ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z ) = 0 (a.0.13) \frac{d \rho}{d t} + \rho \left( \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} \right) = 0 \tag{a.0.13} dtdρ+ρ(∂x∂vx+∂y∂vy+∂z∂vz)=0(a.0.13)
或改写为：
1 ρ d ρ d t + ∇ ⋅ v = 0 (a.0.13b) \frac{1}{\rho} \frac{d \rho}{d t} + \nabla \cdot v = 0 \tag{a.0.13b} ρ1dtdρ+∇⋅v=0(a.0.13b)
小结
- 式 (a.0.10) 和 (a.0.13) 为连续性方程的一般形式，适用于密度随时间和空间变化的流体。
- 恒定流动（定常流动）中，密度不随时间变化，即 ∂ ρ ∂ t = 0 \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 ∂t∂ρ=0，方程简化为 ∇ ⋅ ( ρ v ) = 0 \nabla \cdot (\rho v) = 0 ∇⋅(ρv)=0。
- 不可压缩流体密度为常数，方程进一步简化为 ∇ ⋅ v = 0 \nabla \cdot v = 0 ∇⋅v=0，其物理意义为空间中无质量源和汇，与散度为零的定义一致。
欧拉方程
推导依据
基于牛顿第二定律，针对理想流体（无粘性）建立控制体的动量平衡关系，仅考虑质量力和压力作用。
运动方程全部是基于牛顿第二定律的，因此有
表面力 + 质量力 + 达朗贝尔力 + 质量变化携带的动量变化 = 0
推导过程
-
各方向作用力分析
- 质量力：x 方向单位质量力为
f
x
f_x
fx，控制体所受质量力为
F x mass = f x ρ d x d y d z F_x^{\text{mass}} = f_x \rho dx dy dz Fxmass=fxρdxdydz - 表面力：理想流体无粘性，表面力仅为压力，且都垂直于作用面，x 方向压力合力为
F x f a c e = ( p − ∂ p ∂ x ⋅ d x 2 ) d y d z − ( p + ∂ p ∂ x ⋅ d x 2 ) d y d z = − ∂ p ∂ x d x d y d z F_x^{face} = \left( p - \frac{\partial p}{\partial x} \cdot \frac{dx}{2} \right) dy dz - \left( p + \frac{\partial p}{\partial x} \cdot \frac{dx}{2} \right) dy dz = -\frac{\partial p}{\partial x} dx dy dz Fxface=(p−∂x∂p⋅2dx)dydz−(p+∂x∂p⋅2dx)dydz=−∂x∂pdxdydz - 惯性力（达朗贝尔力）：x 方向表达式为
F x D’Alembert = − ρ d x d y d z d v x d t F_x^{\text{D'Alembert}} = -\rho dx dy dz \frac{d v_x}{d t} FxD’Alembert=−ρdxdydzdtdvx - 质量变化携带的动量变化：
∂ ρ ∂ t d x d y d z ⋅ v x \frac{\partial \rho}{\partial t} dxdydz \cdot v_x ∂t∂ρdxdydz⋅vx
结合连续性方程，表达式为
− ∇ ⋅ ( ρ v ) d x d y d z ⋅ v x - \nabla \cdot (\rho v) dx dy dz \cdot v_x −∇⋅(ρv)dxdydz⋅vx
- 质量力：x 方向单位质量力为
f
x
f_x
fx，控制体所受质量力为
-
动量平衡方程
x 方向动量平衡关系为各力之和为零：
ρ f x d x d y d z − ∂ p ∂ x d x d y d z − ρ d x d y d z d v x d t − ∇ ⋅ ( ρ v ) d x d y d z ⋅ v x = 0 \rho f_x dx dy dz - \frac{\partial p}{\partial x} dx dy dz - \rho dx dy dz \frac{d v_x}{d t} - \nabla \cdot (\rho v) dx dy dz \cdot v_x = 0 ρfxdxdydz−∂x∂pdxdydz−ρdxdydzdtdvx−∇⋅(ρv)dxdydz⋅vx=0
消去公共项并扩展至 y、z 方向，得欧拉运动微分方程：
{ ρ f x − ∂ p ∂ x = ρ d v x d t + v x ∇ ⋅ ( ρ v ) ρ f y − ∂ p ∂ y = ρ d v y d t + v y ∇ ⋅ ( ρ v ) ρ f z − ∂ p ∂ z = ρ d v z d t + v z ∇ ⋅ ( ρ v ) (a.0.24) \begin{cases} \rho f_x - \frac{\partial p}{\partial x} = \rho \frac{d v_x}{d t} + v_x \nabla \cdot (\rho v) \\[1em] \rho f_y - \frac{\partial p}{\partial y} = \rho \frac{d v_y}{d t} + v_y \nabla \cdot (\rho v) \\[1em] \rho f_z - \frac{\partial p}{\partial z} = \rho \frac{d v_z}{d t} + v_z \nabla \cdot (\rho v) \end{cases} \tag{a.0.24} ⎩ ⎨ ⎧ρfx−∂x∂p=ρdtdvx+vx∇⋅(ρv)ρfy−∂y∂p=ρdtdvy+vy∇⋅(ρv)ρfz−∂z∂p=ρdtdvz+vz∇⋅(ρv)(a.0.24)
向量形式为：
ρ f − ∇ p = ρ d v d t + v ∇ ⋅ ( ρ v ) (a.0.24b) \rho f - \nabla p = \rho \frac{d v}{d t} + v \nabla \cdot (\rho v) \tag{a.0.24b} ρf−∇p=ρdtdv+v∇⋅(ρv)(a.0.24b) -
全导数展开形式
以 x 方向为例，将全导数 D v x D t \frac{D v_x}{D t} DtDvx 展开
d v x d t = ∂ v x ∂ t + v x ∂ v x ∂ x + v y ∂ v x ∂ y + v z ∂ v x ∂ z = ∂ v x ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) v x \frac{d v_x}{d t} = \frac{\partial v_x}{\partial t} + v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_x}{\partial y} + v_z \frac{\partial v_x}{\partial z} = \frac{\partial v_x}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v_x dtdvx=∂t∂vx+vx∂x∂vx+vy∂y∂vx+vz∂z∂vx=∂t∂vx+(v⋅∇)vx
其中
v
⋅
∇
=
v
x
∂
∂
x
+
v
y
∂
∂
y
+
v
z
∂
∂
z
{v} \cdot \nabla = v_x \frac{\partial}{\partial x} + v_y \frac{\partial}{\partial y} + v_z \frac{\partial}{\partial z}
v⋅∇=vx∂x∂+vy∂y∂+vz∂z∂
代入，整理得：
ρ
f
x
−
∂
p
∂
x
=
∂
(
ρ
v
x
)
∂
t
+
∇
⋅
(
ρ
v
v
x
)
(a.0.27)
\rho f_x - \frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\partial (\rho v_x)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho v v_x) \tag{a.0.27}
ρfx−∂x∂p=∂t∂(ρvx)+∇⋅(ρvvx)(a.0.27)
向量形式为：
ρ
f
−
∇
p
=
ρ
∂
v
∂
t
+
∇
⋅
(
ρ
v
v
)
(a.0.27a)
\rho f - \nabla p = \rho \frac{\partial v}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho v v) \tag{a.0.27a}
ρf−∇p=ρ∂t∂v+∇⋅(ρvv)(a.0.27a)
小结
-
式 (a.0.24) 和 (a.0.27) 为欧拉方程的一般形式，适用于密度随时空变化的理想流体。
-
不可压缩流体密度为常数且满足 ∇ ⋅ v = 0 \nabla \cdot v = 0 ∇⋅v=0，方程简化为：
f − 1 ρ ∇ p = ∂ v ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) v (a.0.28) f - \frac{1}{\rho} \nabla p = \frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v \tag{a.0.28} f−ρ1∇p=∂t∂v+(v⋅∇)v(a.0.28) -
欧拉方程的未知数包括 ρ \rho ρ、 p p p、 f f f、 v v v，三维问题共 8 个未知量。不可压缩流体中 ρ \rho ρ 为已知常数，方程组封闭；可压缩流体需结合状态方程或能量方程实现封闭。
-
欧拉微分方程的未知数包括 ρ \rho ρ、 p p p、 f {f} f、 v {v} v，共 2 D + 2 2D+2 2D+2 个，其中 D D D 为问题的维度。以三维问题为例，3 个方程共计 8 个未知量，通常已知单位质量力为三个 f {f} f，联立连续性方程共计 ( D + 1 ) (D+1) (D+1) 个方程和 ( D + 2 ) (D+2) (D+2) 个未知量。
-
不可压缩流体
ρ \rho ρ 为已知常数，方程组封闭。 -
可压缩流体
需要建立补充方程。由于常见的可压缩流体都是气体，因此通常利用状态方程封闭方程组，也可以利用能量方程封闭。
Navier-Stokes 方程
在考虑真实流体时，由于流体具有粘性，不能简单地假设控制体积表面的所有表面力都垂直于作用面。因此，在推导不可压缩粘性流体运动方程（纳维-斯托克斯方程）时，必须将控制体积表面的切向力也纳入牛顿第二定律的考量中。
控制体积受到的表面力
应力张量与表面力
根据材料力学知识，某一点（控制体积）上的应力可表示为如下形式的应力张量：
( σ x x τ x y τ x z τ y x σ y y τ y z τ z x τ z y σ z z ) (a.0.29) \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix} \tag{a.0.29} σxxτyxτzxτxyσyyτzyτxzτyzσzz (a.0.29)
因此，该点（控制体积）单位面积上受到的净力可表示为：
( ∂ σ x x ∂ x d x + ∂ τ y x ∂ y d y + ∂ τ z x ∂ z d z ∂ τ x y ∂ x d x + ∂ σ y y ∂ y d y + ∂ τ z y ∂ z d z ∂ τ x z ∂ x d x + ∂ τ y z ∂ y d y + ∂ σ z z ∂ z d z ) (a.0.30) \begin{pmatrix} \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} dx + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} dy + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} dz \\ \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} dx + \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} dy + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} dz \\ \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} dx + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} dy + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} dz \end{pmatrix} \tag{a.0.30} ∂x∂σxxdx+∂y∂τyxdy+∂z∂τzxdz∂x∂τxydx+∂y∂σyydy+∂z∂τzydz∂x∂τxzdx+∂y∂τyzdy+∂z∂σzzdz (a.0.30)
其中，每一行对应相同的作用面 d y d z dy \, dz dydz、 d x d z dx \, dz dxdz、 d x d y dx \, dy dxdy，每一列对应相同的作用方向 x x x、 y y y、 z z z。面积乘以单位面积上的力的大小，得到控制体各方向上受到表面力的大小（进行矩阵运算）：
F x f a c e = ( ∂ σ x x ∂ x + ∂ τ y x ∂ y + ∂ τ z x ∂ z ) d x d y d z (a.0.31) F_x^{face} = \left( \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} \right) dx \, dy \, dz \tag{a.0.31} Fxface=(∂x∂σxx+∂y∂τyx+∂z∂τzx)dxdydz(a.0.31)
用粘性流体的表面力替换欧拉运动微分方程中的表面力项，得到粘性流体的微分运动方程：
{ ρ f x − ( ∂ σ x x ∂ x + ∂ τ y x ∂ y + ∂ τ z x ∂ z ) = ρ ∂ v x ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v v x ) ρ f y − ( ∂ τ x y ∂ x + ∂ σ y y ∂ y + ∂ τ z y ∂ z ) = ρ ∂ v y ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v v y ) ρ f z − ( ∂ τ x z ∂ x + ∂ τ y z ∂ y + ∂ σ z z ∂ z ) = ρ ∂ v z ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v v z ) \begin{cases} \rho f_x - \left( \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} \right) &= \rho \frac{\partial v_x}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho v v_x) \\ \rho f_y - \left( \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} \right) &= \rho \frac{\partial v_y}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho v v_y) \\ \rho f_z - \left( \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} \right) &= \rho \frac{\partial v_z}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho v v_z) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ρfx−(∂x∂σxx+∂y∂τyx+∂z∂τzx)ρfy−(∂x∂τxy+∂y∂σyy+∂z∂τzy)ρfz−(∂x∂τxz+∂y∂τyz+∂z∂σzz)=ρ∂t∂vx+∇⋅(ρvvx)=ρ∂t∂vy+∇⋅(ρvvy)=ρ∂t∂vz+∇⋅(ρvvz)
表面力的对称性与动量矩平衡
假设控制体积重心在 M M M 点，质量力不产生力矩，以逆时针为正方向，则表面力的力矩合为：
∑ M = τ y z d x d z d y 2 + ( τ y z + ∂ τ y z ∂ y d y ) d x d z d y 2 − τ x y d x d y d z 2 + ( τ x y − ∂ τ x y ∂ z d z ) d x d y d z 2 \sum M = \tau_{yz} dx \, dz \frac{dy}{2} + \left( \tau_{yz} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} dy \right) dx \, dz \frac{dy}{2} - \tau_{xy} dx \, dy \frac{dz}{2} + \left( \tau_{xy} - \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial z} dz \right) dx \, dy \frac{dz}{2} ∑M=τyzdxdz2dy+(τyz+∂y∂τyzdy)dxdz2dy−τxydxdy2dz+(τxy−∂z∂τxydz)dxdy2dz
对于控制体，转动惯量表示为：
J = ρ d x d y d z ( d r ) 2 J = \rho dx \, dy \, dz \left( dr \right)^2 J=ρdxdydz(dr)2
由动量矩平衡：
( τ y z − τ z y ) d x d y d z + ( ∂ τ y z ∂ y d y − ∂ τ z y ∂ z d z ) 1 2 d x d y d z = ρ d x d y d z ( d r ) 2 \left( \tau_{yz} - \tau_{zy} \right) dx \, dy \, dz + \left( \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} dy - \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} dz \right) \frac{1}{2} dx \, dy \, dz = \rho dx \, dy \, dz \left( dr \right)^2 (τyz−τzy)dxdydz+(∂y∂τyzdy−∂z∂τzydz)21dxdydz=ρdxdydz(dr)2
表面力的对称性——动量矩平衡
假设控制体重心为 M 点，质量力不产生力矩，以逆时针为正方向建立动量矩平衡方程。略去四阶和五阶小量后，可得应力分量的对称性关系：
τ
y
z
=
τ
z
y
,
τ
x
y
=
τ
y
x
,
τ
x
z
=
τ
z
x
\tau_{yz} = \tau_{zy}, \quad \tau_{xy} = \tau_{yx}, \quad \tau_{xz} = \tau_{zx}
τyz=τzy,τxy=τyx,τxz=τzx
流体中某点的应力状态可由 6 个独立分量描述（3 个正应力、3 个切应力）。即表面力可以使用 6 个独立的应力分量表示。于是假设外力项已知，对不可压缩流体
ρ
\rho
ρ 为常数，结合连续性方程共计 4 个方程，未知量包括 9 个应力，3 个速度，根据动量矩平衡可认为应力需要补充方程——即所谓的本构方程——来封闭。
牛顿内摩擦定律
实验表明，常见流体的切应力与法向速度梯度成正比，即：
τ
=
μ
d
v
d
n
\tau = \mu \frac{dv}{dn}
τ=μdndv
其中
μ
\mu
μ 为流体的动力粘度。
本构关系
切应力与角变形速度的关系（广义牛顿内摩擦定律）
将牛顿内摩擦定律推广至三维流动应用于角变形率 γ \gamma γ，得到切应力与角变形速度以下关系：
τ x y = τ y x = 2 μ γ z = μ ( ∂ v x ∂ y + ∂ v y ∂ x ) τ y z = τ z y = 2 μ γ x = μ ( ∂ v z ∂ y + ∂ v y ∂ z ) τ z x = τ x z = 2 μ γ y = μ ( ∂ v z ∂ x + ∂ v x ∂ z ) \begin{align*} \tau_{xy} &= \tau_{yx} = 2\mu \gamma_z = \mu \left( \frac{\partial v_x}{\partial y} + \frac{\partial v_y}{\partial x} \right) \\ \tau_{yz} &= \tau_{zy} = 2\mu \gamma_x = \mu \left( \frac{\partial v_z}{\partial y} + \frac{\partial v_y}{\partial z} \right) \\ \tau_{zx} &= \tau_{xz} = 2\mu \gamma_y = \mu \left( \frac{\partial v_z}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial z} \right) \end{align*} τxyτyzτzx=τyx=2μγz=μ(∂y∂vx+∂x∂vy)=τzy=2μγx=μ(∂y∂vz+∂z∂vy)=τxz=2μγy=μ(∂x∂vz+∂z∂vx)
其中：
- τ i j \tau_{ij} τij 表示第 i i i 方向和第 j j j 方向之间的剪切应力。
- μ \mu μ 是流体的动力粘度。
- v x v_x vx, v y v_y vy, v z v_z vz 分别是流体在 x x x, y y y, z z z 方向上的速度分量。
- γ z \gamma_z γz, γ x \gamma_x γx, γ y \gamma_y γy 分别是 z z z 方向、 x x x 方向和 y y y 方向的角变形率。
法向应力的本构关系
对于理想流体，法向应力与压力数值相等：
σ x x = σ y y = σ z z = − p \sigma_{xx} = \sigma_{yy} = \sigma_{zz} = -p σxx=σyy=σzz=−p
而对于粘性流体，流体微元在发生角变形的同时，也存在直线变形，在法向上引起附加法向应力，表示为：
{ σ x x = − p + σ x x ′ σ y y = − p + σ y y ′ σ z z = − p + σ z z ′ \begin{cases} \sigma_{xx} = -p + \sigma'_{xx} \\ \sigma_{yy} = -p + \sigma'_{yy} \\ \sigma_{zz} = -p + \sigma'_{zz} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧σxx=−p+σxx′σyy=−p+σyy′σzz=−p+σzz′
其中， p p p 表示粘性流体中的动水压强。
仿照切应变本构关系，附加法向应力等于动力粘度与线变形速度两倍的乘积：
{ σ x x ′ = μ ( ∂ v x ∂ x + ∂ v x ∂ x ) = 2 μ ∂ v x ∂ x σ y y ′ = μ ( ∂ v y ∂ y + ∂ v y ∂ y ) = 2 μ ∂ v y ∂ y σ z z ′ = μ ( ∂ v z ∂ z + ∂ v z ∂ z ) = 2 μ ∂ v z ∂ z \begin{cases} \sigma'_{xx} = \mu \left( \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial x} \right) = 2\mu \frac{\partial v_x}{\partial x} \\ \sigma'_{yy} = \mu \left( \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_y}{\partial y} \right) = 2\mu \frac{\partial v_y}{\partial y} \\ \sigma'_{zz} = \mu \left( \frac{\partial v_z}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial z} \right) = 2\mu \frac{\partial v_z}{\partial z} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧σxx′=μ(∂x∂vx+∂x∂vx)=2μ∂x∂vxσyy′=μ(∂y∂vy+∂y∂vy)=2μ∂y∂vyσzz′=μ(∂z∂vz+∂z∂vz)=2μ∂z∂vz
因此，有：
{ σ x x = − p + 2 μ ∂ v x ∂ x σ y y = − p + 2 μ ∂ v y ∂ y σ z z = − p + 2 μ ∂ v z ∂ z \begin{cases} \sigma_{xx} = -p + 2\mu \frac{\partial v_x}{\partial x} \\ \sigma_{yy} = -p + 2\mu \frac{\partial v_y}{\partial y} \\ \sigma_{zz} = -p + 2\mu \frac{\partial v_z}{\partial z} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧σxx=−p+2μ∂x∂vxσyy=−p+2μ∂y∂vyσzz=−p+2μ∂z∂vz
对于一种流体，其动力粘度 μ \mu μ 已知，这样上面的本构关系共补充了 6 个方程，并引入了一个新的变量——动水压强 p p p；这样对于三维不可压缩问题，共计有 10 个方程和 10 个未知量，模型得以封闭。
动水压强的物理意义
将三个方向正应力相加：
σ
x
x
+
σ
y
y
+
σ
z
z
=
−
3
p
+
2
μ
(
∂
v
x
∂
x
+
∂
v
y
∂
y
+
∂
v
z
∂
z
)
\sigma_{xx} + \sigma_{yy} + \sigma_{zz} = -3p + 2\mu \left( \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} \right)
σxx+σyy+σzz=−3p+2μ(∂x∂vx+∂y∂vy+∂z∂vz)
不可压缩流体满足
∇
⋅
v
=
0
\nabla \cdot v = 0
∇⋅v=0，等式右边第二项为零，因此
p
=
−
1
3
(
σ
x
x
+
σ
y
y
+
σ
z
z
)
p = -\frac{1}{3}(\sigma_{xx} + \sigma_{yy} + \sigma_{zz})
p=−31(σxx+σyy+σzz)，即动水压强为空间法向应力的平均值。
三个方向上的正应力相加得到
σ x x + σ y y + σ z z = − 3 p + 2 μ ( ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z ) \sigma_{xx} + \sigma_{yy} + \sigma_{zz} = -3p + 2\mu \left( \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} \right) σxx+σyy+σzz=−3p+2μ(∂x∂vx+∂y∂vy+∂z∂vz)
对于不可压缩流体，等式右边第二项为零，即
p = − σ x x + σ y y + σ z z 3 p = -\frac{\sigma_{xx} + \sigma_{yy} + \sigma_{zz}}{3} p=−3σxx+σyy+σzz
说明动水压强的含义为空间法向应力的平均值。
Navier-Stokes方程
整理合并上面的方程，得到
ρ f x − { ∂ ∂ x [ − p + 2 μ ∂ v x ∂ x ] + ∂ ∂ y [ μ ( ∂ v x ∂ y + ∂ v y ∂ x ) ] + ∂ ∂ z [ μ ( ∂ v x ∂ z + ∂ v z ∂ x ) ] } = ρ ∂ v x ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v v x ) \rho f_x - \left\{ \frac{\partial}{\partial x} \left[ -p + 2\mu \frac{\partial v_x}{\partial x} \right] + \frac{\partial}{\partial y} \left[ \mu \left( \frac{\partial v_x}{\partial y} + \frac{\partial v_y}{\partial x} \right) \right] + \frac{\partial}{\partial z} \left[ \mu \left( \frac{\partial v_x}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial x} \right) \right] \right\} = \rho \frac{\partial v_x}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho v v_x) ρfx−{∂x∂[−p+2μ∂x∂vx]+∂y∂[μ(∂y∂vx+∂x∂vy)]+∂z∂[μ(∂z∂vx+∂x∂vz)]}=ρ∂t∂vx+∇⋅(ρvvx)
若粘度不变（常物性），则有
ρ f x − { − ∂ p ∂ x + 2 μ ∂ 2 v x ∂ x 2 + μ ∂ v x 2 ∂ y 2 + μ ∂ v x 2 ∂ z 2 + μ ∂ v y ∂ x ∂ y + μ ∂ v z ∂ x ∂ z } = ρ ∂ v x ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v v x ) ρ f y − ∂ p ∂ y − μ { ∂ v x 2 ∂ x 2 + ∂ v y 2 ∂ y 2 + ∂ v z 2 ∂ z 2 } + ∂ ∂ x [ ∂ v x ∂ y + ∂ v y ∂ x ] + ∂ ∂ z [ ∂ v y ∂ z + ∂ v z ∂ y ] = ρ ∂ v y ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v v y ) ρ f z − ∂ p ∂ z − μ [ ∇ 2 v z + ∇ x ⋅ ( ∇ x ⋅ v ) ] = ρ ∂ v z ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v v z ) \begin{align*} \rho f_x - \left\{ -\frac{\partial p}{\partial x} + 2\mu \frac{\partial^2 v_x}{\partial x^2} + \mu \frac{\partial v_x^2}{\partial y^2} + \mu \frac{\partial v_x^2}{\partial z^2} + \mu \frac{\partial v_y}{\partial x \partial y} + \mu \frac{\partial v_z}{\partial x \partial z} \right\} &= \rho \frac{\partial v_x}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho v v_x) \\ \rho f_y - \frac{\partial p}{\partial y} - \mu \left\{ \frac{\partial v_x^2}{\partial x^2} + \frac{\partial v_y^2}{\partial y^2} + \frac{\partial v_z^2}{\partial z^2} \right\} + \frac{\partial}{\partial x} \left[ \frac{\partial v_x}{\partial y} + \frac{\partial v_y}{\partial x} \right] + \frac{\partial}{\partial z} \left[ \frac{\partial v_y}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial y} \right] &= \rho \frac{\partial v_y}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho v v_y) \\ \rho f_z - \frac{\partial p}{\partial z} - \mu \left[ \nabla^2 v_z + \nabla_x \cdot (\nabla_x \cdot v) \right] &= \rho \frac{\partial v_z}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho v v_z) \end{align*} ρfx−{−∂x∂p+2μ∂x2∂2vx+μ∂y2∂vx2+μ∂z2∂vx2+μ∂x∂y∂vy+μ∂x∂z∂vz}ρfy−∂y∂p−μ{∂x2∂vx2+∂y2∂vy2+∂z2∂vz2}+∂x∂[∂y∂vx+∂x∂vy]+∂z∂[∂z∂vy+∂y∂vz]ρfz−∂z∂p−μ[∇2vz+∇x⋅(∇x⋅v)]=ρ∂t∂vx+∇⋅(ρvvx)=ρ∂t∂vy+∇⋅(ρvvy)=ρ∂t∂vz+∇⋅(ρvvz)
Navier-Stokes 方程的最终形式
将本构关系代入粘性流体微分运动方程，假设流体为常物性（粘度
μ
\mu
μ 不变），结合不可压缩流体连续性方程
∇
⋅
v
=
0
\nabla \cdot v = 0
∇⋅v=0，化简得到 Navier-Stokes 方程（不可压缩粘性流体运动方程）：
{
f
x
−
1
ρ
∂
p
∂
x
+
ν
∇
2
v
x
=
∂
v
x
∂
t
+
(
v
⋅
∇
)
v
x
f
y
−
1
ρ
∂
p
∂
y
+
ν
∇
2
v
y
=
∂
v
y
∂
t
+
(
v
⋅
∇
)
v
y
f
z
−
1
ρ
∂
p
∂
z
+
ν
∇
2
v
z
=
∂
v
z
∂
t
+
(
v
⋅
∇
)
v
z
\begin{cases} f_x - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} + \nu \nabla^2 v_x = \frac{\partial v_x}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v_x \\ f_y - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} + \nu \nabla^2 v_y = \frac{\partial v_y}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v_y \\ f_z - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} + \nu \nabla^2 v_z = \frac{\partial v_z}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v_z \end{cases}
⎩
⎨
⎧fx−ρ1∂x∂p+ν∇2vx=∂t∂vx+(v⋅∇)vxfy−ρ1∂y∂p+ν∇2vy=∂t∂vy+(v⋅∇)vyfz−ρ1∂z∂p+ν∇2vz=∂t∂vz+(v⋅∇)vz
其中
ν
=
μ
ρ
\nu = \frac{\mu}{\rho}
ν=ρμ 为运动粘度，
∇
2
=
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
+
∂
2
∂
z
2
\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}
∇2=∂x2∂2+∂y2∂2+∂z2∂2 为拉普拉斯算子。向量形式为：
f
−
1
ρ
∇
p
+
ν
∇
2
v
=
∂
v
∂
t
+
(
v
⋅
∇
)
v
f - \frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 v = \frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v
f−ρ1∇p+ν∇2v=∂t∂v+(v⋅∇)v
计算流体力学 1 -流体力学的控制方程
mw_1422102031 原创已于 2022-10-19 12:44:57 修改
前言
只是为方便学习，不做其他用途
学堂在线配套视频网址：
https://www.xuetangx.com/learn/nwpuP0401KC007315/nwpuP0401KC007315/14070335/video/24702135
一、流动控制方程的推导及其物理含义的讨论、适用于 CFD 计算的控制方程形式
1.1 引言
1.2 流动模型
1.3 实质导数
对于函数ρ，我们可以在位置点 1，时刻 t1 进行 Talor 级数展开，得到ρ 2 ρ_2ρ2 的近似表达式：
1.4 速度的散度及其物理意义
1.5 连续方程
1.5.1 基于固定于空间的有限控制体模型的连续方程推导 （守恒型积分方程的推导）
1.5.2 基于随流体运动有限控制体模型的连续方程推导 （非守恒型积分方程的推导）
1.5.3 基于固定于空间的无限小流体微元模型的连续方程推导 （守恒型偏微分方程）
1.5.4 基于随流体运动无限小流体微元模型的连续方程推导 （非守恒型偏微分方程）
1.6 动量方程
1.7 能量方程
1.10 适合计算流体力学的控制方程形式
计算流体力学 2 - 偏微分方程的数学性质对 CFD 的影响
mw_1422102031 原创已于 2022-10-25 22:35:04 修改・
前言
接前文 [计算流体力学 1]
课程来自学堂在线的 计算流体力学
一、偏微分方程的数学性质对 CFD 的影响
1.1 引言
1.2 准线性偏微分方程的分类
整理后可得：
1.3 偏微分方程组的一般分类方法：特征值方法
1.4 不同类型偏微分方程的一般性质、物理含义及其对 CFD 计算方法的影响
3.5 适定问题
3.6 补充：计算流体力学中不同类型的常用模型方程及其特性
课后习题：
二、偏微分方程的离散
2.1 绪论
2.2 有限差分基础
一阶前差、一阶后差和中心差分的几何意义示意图 ：
二阶导数的差分算子：
2.3 偏微分方程的差分方程
2.4 显示方法和隐式方法
2.5 误差与稳定性分析
流体力学-----连续性方程的推导和理解
mw_1422102031 原创已于 2023-04-08 10:31:53 修改
前言
连续性方程的推导和理解
积分方程和微分方程的比较
- 流体力学基本方程（篇 1）-优快云博客
https://blog.youkuaiyun.com/u013669912/article/details/155062256
via:
- 使用本科知识进行流体力学基本方程推导_流体通量公式-优快云博客
https://blog.youkuaiyun.com/weixin_45564064/article/details/100056809 - 计算流体力学 1-流体力学的控制方程_将积分形式的流体力学控制方程写成单一的通用形式-优快云博客
https://blog.youkuaiyun.com/mw_1422102031/article/details/127261808 - 计算流体力学 2-偏微分方程的数学性质对CFD的影响_偏微分方程的数学性质对 cfd 的影响-优快云博客
https://blog.youkuaiyun.com/mw_1422102031/article/details/127432734 - 流体力学-----连续性方程的推导和理解_连续性方程推导-优快云博客
https://blog.youkuaiyun.com/mw_1422102031/article/details/130006516
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