线性规划 | 基础理论 / 实际应用

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注：本文为 “线性规划” 相关合辑。
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线性规划（一）：基本概念

wamg潇潇于 2019-03-29 15:37:33 发布

1.线性规划的概念

线性规划(Linear Programming 简记 LP)是了运筹学中数学规划的一个重要分支。自从 1947 年 G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中由于计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划现代管理中经常采用的基本方法之一。在解决实际问题时，需要把问题归结成一个线性规划数学模型，关键及难点在于选适当的决策变量建立恰当的模型，这直接影响到问题的求解。

线性规划问题的目标函数及约束条件均为线性函数；约束条件记为 s.t.(即 subject to)。目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。

一般线性规划问题的（数学）标准型为

线性规划的实例

2.线性规划问题的解的概念：可行解、可行域、图解法

可行解 满足约束条件（4）的解 $x=(x_{1}x_{2},...,x_{n})$ 称为线性规划问题的可行解，而使目标函数（3）达到最大值的可行解叫最优解。

可行域 所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R 。

图解法 简单直观，适用于二维决策变量，它有助于了解线性规划问题求解的基本原理。对于每一固定的值z，使目标函数值等于z的点构成的直线称为目标函数等位线，当z变动时，我们得到一族平行直线。

2.1. 推广到多维空间的线性规划：超平面、多胞形、多面体

以下结论可以推广到一般的线性规划问题，区别只在于空间的维数：

（1）可行域 R 可能会出现多种情况。R 可能是空集也可能是非空集合，当R 非空时，它必定是若干个半平面的交集（除非遇到空间维数的退化）。R 既可能是有界区域，也可能是无界区域。

（2）在R 非空时，线性规划既可以存在有限最优解，也可以不存在有限最优解（其目标函数值无界）。

（3）若线性规划存在有限最优解，则必可找到具有最优目标函数值的可行域R 的 “顶点” 。

在一般的n维空间中，满足线性等式 $\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=b$ 的点集被称为一个超平面； $\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\leqslant b$

或 $\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\geqslant b$ 的点集被称为一个半空间，其中 $\left ( a_{1},a_{2},...,a_{n} \right)$ 为一个n维行向量，b为一个实数。

若干个半空间的交集被称为多胞形，有界的多胞形又被称为多面体。易见，线性规划的可行域必为多胞形（为统一起见，空集 Φ 也被视为多胞形）。在一般n维空间中，要直接得出多胞形“顶点”概念还有一些困难。二维空间中的顶点可以看成为边界直线的交点，但这一几何概念的推广在一般n维空间中的几何意义并不十分直观。为此，我们将采用另一途径来定义它。

单纯形法是求解线性规划问题的最常用、最有效的算法之一，此处不作介绍，有兴趣的读者可以参看其它线性规划书籍。下面我们介绍线性规划的 Matlab 解法。

3.求解线性规划的 Matlab 解法

Matlab 中规定线性规划的标准形式为

其中 c 和 x 为 n 维列向量， A、 Aeq 为适当维数的矩阵，b 、beq为适当维数的列向量。（Aeq 对应约束条件中等式约束的系数矩阵，A为约不等式约束的系数矩阵）。

基本函数形式为 linprog(c,A,b)，它的返回值是向量 x的值。还有其它的一些函数调用形式（在 Matlab 指令窗运行 help linprog 可以看到所有的函数调用形式），如：

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS)

这里 fval 返回目标函数的值，LB 和 UB 分别是变量 x的下界和上界， 0 x 是x的初始值， OPTIONS 是控制参数。

例题

例如求解下列线性规划问题

解（i）编写 M 文件

c=[2;3;-5];
a=[-2,5,-1;1,3,1];
b=[-10;12];
aeq=[1,1,1];
beq=7;
x=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1))
value=c'*x

（ii）将M文件存盘，并命名为 example1.m。

（iii）在 Matlab 指令窗运行 example1 即可得所求结果。

例3 求解线性规划问题

解编写 Matlab 程序如下：

c=[2;3;1];
a=[1,4,2;3,2,0];
b=[8;6];
[x,y]=linprog(c,-a,-b,[],[],zeros(3,1))

线性规划（二）：运输问题 (产销平衡) & 指派问题

wamg潇潇于 2019-03-29 16:27:43 发布

1.可以转化为线性规划的问题

很多看起来不是线性规划的问题也可以通过变换变成线性规划的问题来解决。下面举几个例子：

2. 运输问题(产销平衡) ：康—希表上作业法

3. 指派问题的数学模型

上述指派问题的可行解可以用一个矩阵表示，其每行每列均有且只有一个元素为 1，其余元素均为 0；可以用 1,…,n 中的一个置换表示。问题中的变量只能取 0 或 1，从而是一个 0-1 规划问题。一般的 0-1 规划问题求解极为困难。但指派问题并不难解，其约束方程组的系数矩阵十分特殊（被称为全单位模矩阵，其各阶非零子式均为 $\pm 1$ ），其非负可行解的分量只能取 0 或 1，故约束 $x_{ij}$ =0 或 1 可改写为 $x_{ij}\geq 1$ 而不改变其解。此时指派问题被转化为一个特殊的运输问题，其中 $m = n$ ， $a_{i} =b_{j} =1$ 。

求解指派问题的匈牙利算法

有时问题会稍复杂一些。

例 9 求解系数矩阵C 的指派问题

4. 指派问题的计算机求解

整数规划问题的求解可以使用 Lingo 等专用软件。对于一般的整数规划问题，无法直接利用 Matlab 的函数，必须利用 Matlab 编程实现分枝定界解法和割平面解法。但对于指派问题等 0−1整数规划问题，可以直接利用 Matlab 的函数 bintprog 进行求解。

解：编写 Matlab 程序如下：求得最优值为 21，最优指派方案为 $x_{15}=x_{23}=x_{32}=x_{44}=x_{51}=1$ .

c=[3 8 2 10 3;8 7 2 9 7;6 4 2 7 5
   8 4 2 3 5;9 10 6 9 10];
c=c(:);
a=zeros(10,25);
for i=1:5
    a(i,(i-1)*5+1:5*i)=1;
    a(5+i,i:5:25)=1;
end
b=ones(10,1);
[x,y]=bintprog(c,[],[],a,b);
x=reshape(x,[5,5]),y

求解的 LINGO 程序如下：

model:
sets:
var/1..5/;
link(var,var):c,x;
endsets
data:
c=3 8 2 10 3
  8 7 2 9 7
  6 4 2 7 5
  8 4 2 3 5
  9 10 6 9 10;
enddata
min=@sum(link:c*x);
@for(var(i):@sum(var(j):x(i,j))=1);
@for(var(j):@sum(var(i):x(i,j))=1);
@for(link:@bin(x));
end

线性规划（三）：对偶理论与灵敏度分析

wamg潇潇于 2019-03-29 16:44:03 发布

1.原始问题和对偶问题

2.对偶问题的基本性质

例 10 已知线性规划问题

3. 灵敏度分析

在以前讨论线性规划问题时，假定 $a_{ij},b_{i},c_{j}$ 都是常数。但实际上这些系数往往是估计值和预测值。如市场条件一变， $c_{j}$ 值就会变化； $a_{ij}$ 往往是因工艺条件的改变而改变； $b_{i}$ 是根据资源投入后的经济效果决定的一种决策选择。因此提出这样两个问题：

1.当这些系数有一个或几个发生变化时，已求得的线性规划问题的最优解会有什么变化；

2. 这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题的最优解或最优基不变。

这里我们暂不讨论了。

4.参数线性规划

参数线性规划是研究 $a_{ij},b_{i},c_{j}$ 这些参数中某一参数连续变化时，使最优解发生变化的各临界点的值。即把某一参数作为参变量，而目标函数在某区间内是这参变量的线性函数，含这参变量的约束条件是线性等式或不等式。因此仍可用单纯形法和对偶单纯形法进行分析参数线性规划问题.

5.练习：用 Matlab 求解下列规划问题：

线性规划（四）：投资的收益和风险、线性规划习题集

wamg潇潇于 2019-04-24 20:43:18 发布

1 问题提出

试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定资金M ，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。

2 符号规定和基本假设

3 模型的分析与建立

4．模型简化

模型一固定风险水平，优化收益

模型二固定盈利水平，极小化风险

模型三用投资偏好系数赋权

模型一的求解

由于a是任意给定的风险度，到底怎样没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度。我们从 $a = 0$ 开始，以步长 $Δ a = 0.001$ 进行循环搜索，编制程序如下：

clc,clear
a=0;
hold on
while a<0.05
    c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];
    A=[zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];
    b=a*ones(4,1);
    Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];
    beq=1;
    LB=zeros(5,1);
    [x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);
    Q=-Q;
    plot(a,Q,'*r');
    a=a+0.001;
end
xlabel('a'),ylabel('Q')

5 结果分析

风险大，收益也大。高收益伴随着高风险.

2．当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即：

冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。

线性规划习题集

1．试将下述问题改写成线性规划问题：

2．试将下列问题改写成线性规划问题：

6．某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。为完成此项任务的汽油消耗量限制为 48000 升、重型炸弹 48 枚、轻型炸弹 32 枚。飞机携带重型炸弹时每升汽油可飞行 2 千米，带轻型炸弹时每升汽油可飞行 3 千米。又知每架飞机每次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗（空载时每升汽油可飞行 4 千米）外，起飞和降落每次各消耗 100 升。有关数据如表 4 所示。