线性规划原理

线性规划介绍

1. 定义

线性规划（Linear Programming, LP）是运筹学中用于解决最优化问题的一种数学方法。其核心是在一组线性约束条件下，寻找某个线性目标函数的最大值或最小值。这类问题广泛应用于资源分配、生产计划、运输调度等领域。

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2. 基本组成部分

• 决策变量：需要确定的变量，例如：$$x_1,x_2,\dots ,x_n$$
• 目标函数：需最大化或最小化的线性表达式，例如：
  $$\text{最大化 }z=c_1{x}_1+c_2{x}_2+\cdots +c_n{x}_n$$
  或
  $$\text{最小化 }z=c_1{x}_1+c_2{x}_2+\cdots +c_n{x}_n$$
• 约束条件：决策变量需满足的线性不等式或等式，例如：
  $$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n\le b_1$$
  $$a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m$$

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3. 标准形式

线性规划的标准形式通常表示为：
$$\begin{array}{rl}\text{最大化 }& z={\mathbf{c}}^T\mathbf{x}\\ \text{满足 }& A\mathbf{x}\le \mathbf{b},\\ & \mathbf{x}\ge 0\end{array}$$
其中：

• $\mathbf{x}$ 是决策变量向量，
• $\mathbf{c}$ 是目标函数系数向量，
• $A$ 是约束系数矩阵，
• $\mathbf{b}$ 是资源限制向量。

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4. 求解方法

• 图解法（仅适用于2个变量）：
  通过绘制约束条件的直线，确定可行域（多边形区域），并在顶点处寻找目标函数的最优值。

• 单纯形法（Simplex Method）：
  一种迭代算法，通过遍历可行域的顶点（基本可行解）逐步逼近最优解。由乔治·丹齐格（George Dantzig）于1947年提出。

• 内点法（Interior-Point Method）：
  从可行域内部向边界逼近，适用于大规模问题，计算效率较高。

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5. 应用举例

• 生产计划：工厂需分配资源生产两种产品，目标是利润最大化。

  • 目标函数：利润 = 产品A利润 × 产量A + 产品B利润 × 产量B
  • 约束条件：原材料、工时、市场需求等限制。

• 运输问题：从多个仓库向多个商店配送货物，目标是运输成本最小化。

  • 目标函数：总成本 = 各路径运输量 × 单位成本之和
  • 约束条件：仓库供应量、商店需求量平衡。

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6. 重要概念

• 可行解：满足所有约束条件的解。
• 最优解：使目标函数达到极值的可行解。
• 对偶理论：每个线性规划问题都有一个对应的对偶问题，两者最优值相等（强对偶定理）。

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7. 实际工具

• Excel规划求解：内置插件，适合简单问题。
• MATLAB：使用linprog函数。
• Python：通过SciPy.optimize.linprog或PuLP库实现。

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8. 总结

线性规划通过数学建模将实际问题转化为优化问题，结合高效的算法和工具，能够在资源受限的条件下找到最优决策方案。其核心思想是在有限的约束中探索可能性，追求目标的最优平衡。

9.具体示例：工厂生产计划优化

问题描述

某工厂生产两种产品 A 和 B，生产过程中需要消耗原材料和工时。工厂每天可用资源如下：

• 原材料总量：100 公斤
• 总工时：120 小时

已知：

• 生产 1 单位 A 需要：2 公斤原材料，1 小时工时，利润为 50 元。
• 生产 1 单位 B 需要：3 公斤原材料，4 小时工时，利润为 80 元。

目标：制定生产计划，使每日总利润最大。

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步骤 1：定义决策变量

设：

• $x_1$ = 产品 A 的日产量（单位）
• $x_2$ = 产品 B 的日产量（单位）

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步骤 2：建立目标函数

总利润需最大化：
$$\text{最大化 }z=50x_1+80x_2$$

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步骤 3：列出约束条件

1. 原材料约束（不超过 100 公斤）：
   $$2x_1+3x_2\le 100$$
2. 工时约束（不超过 120 小时）：
   $$x_1+4x_2\le 120$$
3. 非负约束（产量不可为负）：
   $$x_1\ge 0,x_2\ge 0$$

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步骤 4：转化为标准形式

引入松弛变量 $s_1$ 和 $s_2$，将不等式转为等式：
$$\{\begin{array}{l}2x_1+3x_2+s_1=100\\ x_1+4x_2+s_2=120\\ x_1,x_2,s_1,s_2\ge 0\end{array}$$

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步骤 5：求解（图解法）

由于仅有两个变量，可用图解法直观分析：

1. 绘制约束线：
   • 原材料约束线：$2x_1+3x_2=100$，连接点 $(50,0)$ 和 $(0,33.3)$。
   • 工时约束线：$x_1+4x_2=120$，连接点 $(120,0)$ 和 $(0,30)$。
2. 确定可行域：
   • 两约束线与坐标轴围成的多边形区域（见示意图）。
3. 计算顶点目标函数值：
   • 顶点 1：$(0,0)$，利润 $z=0$ 元。
   • 顶点 2：$(50,0)$，利润 $z=50\times 50=2500$ 元。
   • 顶点 3：交点解方程：
     $$\{\begin{array}{l}2x_1+3x_2=100\\ x_1+4x_2=120\end{array}$$
     解得 $x_1=16$, $x_2=26$，利润 $z=50\times 16+80\times 26=2880$ 元。
   • 顶点 4：$(0,30)$，利润 $z=80\times 30=2400$ 元。

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步骤 6：确定最优解

比较顶点利润，最优解为：
$$x_1=16,x_2=26$$
此时总利润最大为 2880 元，且满足所有约束：

• 原材料消耗：$2\times 16+3\times 26=100$ 公斤（恰好用完）。
• 工时消耗：$16+4\times 26=120$ 小时（恰好用完）。

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实际意义

工厂应每日生产 16 单位 A 和 26 单位 B，可实现资源充分利用和利润最大化。若需调整（如市场需求变化），可通过敏感度分析评估参数变动对结果的影响。