基础不等式

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注：本文为“不等式”相关文章合辑。

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各种常用不等式汇总

流浪猪头拯救地球已于 2022-02-11 10:00:47 修改

一、一般不等式

经常会用到的不等式一般有

前面三个是下面均值不等式的特殊情况。一般情况下a=b时，才取到等号

1、一元二次不等式

首先回顾一下一元二次方程的求根公式

一元二次不等式的解以及图像

2、正弦余弦不等式

3、均值不等式

均值不等式中一般包含四个公式：调和平均数公式、算数平均数公式、平方平均数公式、几何平均数公式，下面一一介绍。

调和平均数又称倒数平均数，是总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数。调和平均数是平均数的一种。但统计调和平均数，与数学调和平均数不同，它是变量倒数的算术平均数的倒数。由于它是根据变量的倒数计算的，所以又称倒数平均数。调和平均数也有简单调和平均数和加权调和平均数两种。
算术平均数又称均值，是统计学中最基本、最常用的一种平均指标，分为简单算术平均数、加权算术平均数。它主要适用于数值型数据，不适用于品质数据。根据表现形式的不同，算术平均数有不同的计算形式和计算公式。
一组数据的平方的平均数的算术平方根。英文缩写为RMS。它是2次方的广义平均数的表达式，也可称为2次幂平均数。英文名一般缩写成RMS。
几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根，分为简单几何平均数与加权几何平均数。
- 1）几何平均数受极端值的影响较算术平均数小；
- 2）如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或虚数；
- 3）它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据；
- 4）几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数。

它们的公式如下：g

调和平均数公式 $H_n = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}$

算术平均数公式 $A_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$

平方平均数公式 $Q_n = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n}} = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n}}$

几何平均数公式 $G_n = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i} = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}$

均值不等式 $H_n \leq G_n \leq A_n \leq Q_n$

调和平均数 $\leq$ 几何平均数 $\leq$ 算术平均数 $\leq$ 平方平均数（方均根）。

4、绝对值不等式 g

当 $a > 0$ 时：

$∣ x ∣ < a$
$\Leftrightarrow x^2 < a^2$
$\Leftrightarrow -a < x < a$
$∣ x ∣ > a$
$\Leftrightarrow x^2 > a^2$
$\Leftrightarrow x < -a$ 或 $x > a$

5、排序不等式

反序和 ≤ 乱序和 ≤ 顺序和 g

设 $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$ ， $b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n$ 为两组实数， $c_1, c_2, \cdots, c_n$ 是 $b_1, b_2, \cdots, b_n$ 的任意排列，则：
$\underbrace{a_{1} b_{n} + a_{2} b_{n-1} + \cdots + a_{n} b_{1}}_{\text{反序和}} \leq \underbrace{a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + \cdots + a_{n} c_{n}}_{\text{乱序和}} \leq \underbrace{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \cdots + a_{n} b_{n}}_{\text{顺序和}}$

6、权方和不等式

权方和不等式是一个数学中重要的不等式。其证明需要用到赫尔德不等式（Holder），可用于放缩的方法求最值（极值）、证明不等式等。g
对于 $x_i, y_i > 0$

当 $m (m + 1) > 0$ 时，
$\frac{(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^{m+1}}{(y_1 + y_2 + \cdots + y_n)^m} \leq \frac{x_1^{m+1}}{y_1^m} + \frac{x_2^{m+1}}{y_2^m} + \cdots + \frac{x_n^{m+1}}{y_n^m}$

当 $m (m + 1) = 0$ 时，
$\frac{(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^{m+1}}{(y_1 + y_2 + \cdots + y_n)^m} = \frac{x_1^{m+1}}{y_1^m} + \frac{x_2^{m+1}}{y_2^m} + \cdots + \frac{x_n^{m+1}}{y_n^m}$

当 $m (m + 1) < 0$ 时，
$\frac{(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^{m+1}}{(y_1 + y_2 + \cdots + y_n)^m} \geq \frac{x_1^{m+1}}{y_1^m} + \frac{x_2^{m+1}}{y_2^m} + \cdots + \frac{x_n^{m+1}}{y_n^m}$

其中 $n$ 是正整数，当且仅当 $\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} = \cdots = \frac{x_n}{y_n}$ 时等号成立。

二、人名不等式

1、柯西不等式

柯西不等式，是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。从历史的角度讲，柯西不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式（柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式），因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式有很多形式 g

首先柯西不等式的二维形式为：

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2$ ，

公式变形为：

$\leq \sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}$ ，

当且仅当 $a d = b c$ 时等号成立。

柯西不等式的一般形式为：
$(a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n})^{2} \leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \cdots + a_{n}^{2})(b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \cdots + b_{n}^{2}) \quad (a_{i}, b_{i} \in \mathbb{R}, \ i = 1, 2, \cdots, n)$
等号当且仅当 $a_{1} = a_{2} = \cdots = a_{n} = 0$ 或 $b_{i} = ka_{i}$ 时成立（ $k$ 为常数， $\cdots, n$ ）。

向量形式为：

设 $\alpha = (a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n})$ ， $\beta = (b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n})$ 是两个向量，则 $|\alpha \cdot \beta| \leq \|\alpha\| \|\beta\|$ ，当且仅当 $\alpha$ 是零向量或存在实数 $k$ ，使 $\beta = k\alpha$ 时，等号成立。

三角形式为：
$\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} \geq \sqrt{(a - c)^{2} + (b - d)^{2}}$
值得一提的是，上述公式是百度百科上的，笔者认为等式右边加减都可，即为

$\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2} \geq \sqrt{(a \pm c)^2 + (b \pm d)^2}$

概率论形式为：
$\sqrt{E\left(X^{2}\right)} \sqrt{E\left(Y^{2}\right)} \geq |E(XY)|$

积分形式为：g
$\left(\int f(x) g(x) \, dx\right)^{2} \leq \int f^{2}(x) \, dx \int g^{2}(x) \, dx$

广义形式为：
设 $V$ 是一线性空间，在 $V$ 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作 $(\alpha, \beta)$ ，它具有以下性质：

$(\alpha, \beta) = (\beta, \alpha)$

$(k\alpha, \beta) = k(\alpha, \beta)$

$(\alpha, \beta + \gamma) = (\alpha, \beta) + (\alpha, \gamma)$

$(\alpha, \alpha) \geq 0 \quad \text{当且仅当} \ \alpha = 0 \ \text{时等号成立}$

并且定义 $\alpha$ 的长度为 $|\alpha| = \sqrt{(\alpha, \alpha)}$ ，则柯西不等式表述为：

$|(\alpha, \beta)| \leq |\alpha||\beta|$

柯西不等式大致思想就是：向量的点积 ≤ 模的积

2、卡尔松不等式

卡尔松不等式(Carlson)是数学上的著名不等式之一，是柯西不等式的推广。卡尔松不等式在不等式的证明中有着广泛的应用。

卡尔松不等式是柯西不等式的推广。

3、琴声不等式

琴生不等式以丹麦技术大学数学家约翰·延森（John Jensen）命名。它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式），使用时注意前提、等号成立条件。

琴声不等式，看起来显而易见，证明方法可用数学归纳法。

4、杨氏不等式

杨氏不等式又称Young不等式，Young不等式是加权算术－几何平均值不等式的一种特例，Young不等式也是证明Holder（赫尔德）不等式的一个快捷方法。

5、赫尔德不等式

赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥图·赫尔德(Otto Hölder）。这是一条揭示Lp空间相互关系的基本不等式。赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

6、闵可夫斯基不等式

在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski inequality）是德国数学家赫尔曼·闵可夫斯基提出的重要不等式，该不等式表明Lp空间是一个赋范向量空间。

7、伯努利不等式

伯努利不等式，又称贝努利不等式，是分析不等式中最常见的一种不等式，由数学家伯努利提出。

参考：

百度百科
帮计算：
https://www.bang123.cn/budengshi/
杨氏( young )不等式：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/41654910
赫尔德（Hölder）不等式：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/27673684

4 个基本不等式的公式高中_基本不等式系列公式的推导

韦臻于 2021-01-07 16:08:13 发布

高中基本不等式的推导与关系

一、核心公式

定理：对于任意正实数 $x, y$ ，算术平均数大于或等于几何平均数，即
$\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy} \quad (x, y > 0)$
证明：由完全平方公式展开
$\begin{align*} (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 &\geq 0 \\ \Rightarrow x + y - 2\sqrt{xy} &\geq 0 \\ \Rightarrow \frac{x + y}{2} &\geq \sqrt{xy} \end{align*}$
等号条件：当且仅当 $x = y$ 时取等号。

二、衍生不等式

1. 平方平均数与算术平均数的关系

由 $y)^2 \geq 0$ 展开得
$x^2 + y^2 \geq 2xy$
两边加 $x^2 + y^2$ ：
$2(x^2 + y^2) \geq (x + y)^2$
整理得
$\frac{x^2 + y^2}{2} \geq \left(\frac{x + y}{2}\right)^2$
开根号后
$\sqrt{\frac{x^2 + y^2}{2}} \geq \frac{x + y}{2}$

2. 调和平均数与几何平均数的关系

将 $x, y$ 替换为 $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}$ （ $x, y > 0$ ），代入核心公式：

$\begin{align*} \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{2} &\geq \frac{1}{\sqrt{xy}} \\ \Rightarrow \sqrt{xy} &\geq \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \end{align*}$

三、四平均数不等式链

当 $x, y > 0$ 时，以下关系成立：
$\underbrace{\sqrt{\frac{x^2 + y^2}{2}}}_{\text{平方平均数}} \geq \underbrace{\frac{x + y}{2}}_{\text{算术平均数}} \geq \underbrace{\sqrt{xy}}_{\text{几何平均数}} \geq \underbrace{\frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}}_{\text{调和平均数}}$
等号条件：所有等号均在 $x = y$ 时成立。
应用要点：使用时需满足“一正、二定、三相等”，灵活选择不等式形式解决最值与证明问题。

绝对值不等式 6 个基本公式

污浊的双黑于 2023-05-07 12:41:29 发布

绝对值不等式的公式为：

$\leq |a \pm b| \leq |a| + |b|$

我们从以下三个基础不等式开始：

$\begin{matrix} -|a| \leq a \leq |a| & \text{①} \\ -|b| \leq b \leq |b| & \text{②} \\ -|b| \leq -b \leq |b| & \text{③} \end{matrix}$

推导过程

1.将 ① 和 ② 相加，得到：

$\begin{align*} -(|a| + |b|) & \leq a + b \leq |a| + |b| \\ \Rightarrow |a + b| &\leq |a| + |b| \end{align*}$

2. 将 ① 和 ③ 相加，得到：

$\begin{align*} -(|a| + |b|) & \leq a - b \leq |a| + |b| \\ \Rightarrow |a - b| &\leq |a| + |b| \end{align*}$

进一步推导

3. 由 $\leq |a| + |b|$ 得：

$\begin{align*} |a| = |(a + b) - b| &\leq |a + b| + |-b| \\ \Rightarrow |a| - |b| &\leq |a + b| \quad \text{⑥} \end{align*}$

$\begin{align*} |b| = |(b + a) - a| &\leq |b + a| + |-a| \\ \Rightarrow |a| - |b| & \geq -|a + b| \quad \text{⑦} \end{align*}$

4. 由 $\leq |a| + |b|$ 得：

$\begin{align*} |a| = |(a - b) + b| &\leq |a - b| + |b| \\ \Rightarrow |a| - |b| & \leq |a - b| \quad \text{⑧} \end{align*}$

$\begin{align*} |b| = |(b - a) + a| &\leq |b - a| + |a| \\ \Rightarrow |a| - |b| &\geq -|a - b| \quad \text{⑨} \end{align*}$

结论

5. 由 ⑥ 和 ⑦ 得：

$\begin{align*} ||a| - |b|| & \leq |a + b| \end{align*}$

或者：
$\begin{align*} |a|=|a+b-b| & \le |b|+|a+b| \\ \to |a|-|b| & \le |a+b| \end{align*}$

$a, b$ 交换后，可得：

$\begin{align*} |b| - |a| & \leq |a + b| \end{align*}$

6. 由 ⑧ 和 ⑨ 得：

$\begin{align*} ||a| - |b|| & \leq |a - b| \end{align*}$

或者：

$\begin{align*} |a| = |a - b + b| & \leq |b| + |a - b| \\ \to |a| - |b| & \leq |a - b| \end{align*}$

$a, b$ 交换后，可得：

$\begin{align*} |b| - |a| & \leq |a - b| \end{align*}$

等号成立的条件

等号成立的条件（特别是求最值）如下：

$\begin{array}{l} |a - b| = |a| + |b| \rightarrow ab \leq 0 \\ |a| - |b| = |a + b| \rightarrow b(a + b) \leq 0 \\ |a| - |b| = |a - b| \rightarrow b(a - b) \geq 0 \end{array}$