概率论与数理统计教程(六)-参数估计02：矩估计及相合性

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分类专栏：概率论与数理统计文章标签：概率论

于 2024-02-11 00:13:12 首次发布

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本文介绍了概率论与数理统计中的矩估计方法，通过实例展示了如何利用样本矩来估计总体参数，如均值、方差和中位数。讨论了矩估计的相合性，并提供了相关分布的矩估计示例，包括指数分布和均匀分布。此外，还探讨了在不同情况下估计量的唯一性和相合性的性质。

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§ 6.2 矩估计及相合性
6.2.1 替换原理和矩法估计
1900 年 K.皮尔逊提出了一个替换原理, 后来人们称此方法为矩法.
替换原理常指如下两句话:
- 用样本矩去替换总体矩, 这里的矩可以是原点矩也可以是中心矩.
- 用样本矩的函数去替换相应的总体矩的函数.
根据这个替换原理,在总体分布形式未知场合也可对各种参数作出估计, 譬如:
- 用样本均值 $xˉ\bar{x}$ 估计总体均值 $E (X)$ .
- 用样本方差 $s^{2}$ 估计总体方差 $Var⁡(X)\operatorname{Var}(X)$ .
- 用事件 $A$ 出现的频率估计事件 $A$ 发生的概率.
- 用样本的 $p$ 分位数估计总体的 $p$ 分位数, 特别,
用样本中位数估计总体中位数.
例 6.2.1 对某型号的 20 辆汽车记录其每 $\mathrm{~L}$ 汽油的行驶里程
(单位: $km\mathrm{km}$ ), 观测数据如下:
$29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.7\begin{array}{llllllllll}29.8 & 27.6 & 28.3 & 27.9 & 30.1 & 28.7 & 29.9 & 28.0 & 27.9 & 28.7\end{array}$ 外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传 {width=“420px”}
这是一个容量为 20 的样本观测值, 对应总体是该型号汽车每 $\mathrm{~L}$
汽油的行驶里程, 其分布形式尚不清楚, 可用矩法估计其均值、方差和中位数等.
本例中经计算有
$xˉ=28.695,s2=0.9668,m0.5=28.6,\bar{x}=28.695, \quad s^{2}=0.9668, \quad m_{0.5}=28.6,$
由此给出总体均值、方差和中位数的估计分别为 $28.695, 0.9668$ 和 28.6 .
矩法估计的统计思想 (替换原理) 十分简单明确, 众人都能接受, 使用场合甚广.
它的实质是用经验分布函数去替换总体分布,其理论基础是格利文科定理.
6.2.2 概率函数已知时未知参数的矩估计
设总体具有已知的概率函数
$,θk)∈Θp\left(x ; \theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{k}\right),\left(\theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{k}\right) \in \Theta$
是未知参数或参数向量, $,xnx_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 是样本, 假定总体的
$k$ 阶原点矩 $μk\mu_{k}$ 存在, 则对所有的 $j$ , $\mu_{j}$ 都存在,
若假设 $,θk\theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{k}$ 能够表示成
$,μk\mu_{1}, \mu_{2}, \cdots, \mu_{k}$ 的函数
$θj=θj(μ1\theta_{j}=\theta_{j}\left(\mu_{1}\right.$ ,
$,μk)\left.\mu_{2}, \cdots, \mu_{k}\right)$ , 则可给出诸 $θj\theta_{j}$
的矩估计:
$θ^j=θj(a1,a2,⋯ ,ak),j=1,2,⋯ ,k,\hat{\theta}_{j}=\theta_{j}\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\right), \quad j=1,2, \cdots, k,$
其中 $,aka_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ 是前 $k$ 阶样本原点矩
$aj=1n∑i=1nxija_{j}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{j}$ . 进一步, 如果我们要估计
$,θk\theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{k}$ 的函数
$,θk)\eta=g\left(\theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{k}\right)$ ,
则可直接得到 $η\eta$ 的矩估计
$η^=g(θ^1,θ^2,⋯ ,θ^k),\hat{\eta}=g\left(\hat{\theta}_{1}, \hat{\theta}_{2}, \cdots, \hat{\theta}_{k}\right),$
当 $k = 1$ 时, 我们通常可以由样本均值出发对未知参数进行估计; 如果 $k = 2$ ,
我们可以由一阶、二阶原点矩 (或二阶中心矩) 出发估计未知参数.
例 6.2.2 设总体为指数分布, 其密度函数为
$\lambda)=\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}, \quad x \geqslant 0,$
$,xnx_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 是样本, 此处 $k = 1$ , 由于
$\lambda$ , 亦即 $λ=1/E(X)\lambda=1 / E(X)$ , 故 $λ\lambda$ 的矩估计为
$λ^=1/xˉ. \hat{\lambda}=1 / \bar{x} \text {. }$
另外, 由于 $Var⁡(X)=1/λ2\operatorname{Var}(X)=1 / \lambda^{2}$ , 其反函数为
$λ=1/Var⁡(X)\lambda=1 / \sqrt{\operatorname{Var}(X)}$ , 因此, 从替换原理来看,
$λ\lambda$ 的矩估计也可取为
$λ^1=1/s,\hat{\lambda}_{1}=1 / s,$
$s$ 为样本标准差. 这说明矩估计可能是不唯一的,
此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计.
例 6.2.3 设 $,xnx_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$