[HDU 5810] Balls and Boxes （随机变量计算期望）

HDU - 5810

有 $n$个球， $m$个盒子，随机将球放入盒子中
求每个盒子球个数的方差的期望值
方差 $V = \displaystyle\sum_{i=1}^m \frac {X_i - \bar{X}^2} m$

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推推公式啥的，赛上没推出来，最后找规律过得
果然期望和概率还是太差了啊 orz

首先可以展开公式，$V = \displaystyle \sum_{i=1}^m\frac {X_i} m -2\bar{X}\frac n m + \bar{X}^2=\sum_{i=1}^m \frac {X_i} m - \frac {n^2} {m^2}$
然后就变成求前面那项的期望了，
用一个随机变量 $Y_j$来表示第 $j$个球是否在第 $i$个盒子里
$E(X_i) = E((\displaystyle\sum_{j=1}^n Y_j)^2)$
利用期望的线性性展开这个和式得到
$E((\displaystyle\sum_{j-1}^n Y_j)^2) = E(\sum_{j=1}^n Y_j^2) + E(\sum_{j=1}^n \sum_{k=1,k\ne j}^n Y_jY_k) = nE(Y_j^2) + n(n-1)E(Y_jY_k) = \frac n m + \frac {n(n-1)} {m^2}$
所以最后的答案就是
$E(V) = \frac n m + \frac {n(n-1)} {m^2} - \frac {n^2} {m^2} =\frac {n(m-1)} {m^2}$

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
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using namespace std;
typedef pair<int,int> Pii;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef double DBL;
typedef long double LDBL;
#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define CLR(a) MST(a,0)
#define SQR(a) ((a)*(a))
#define PCUT puts("\n----------")

LL GCD(LL a, LL b){return b?GCD(b, a%b):a;}
LL N,M;

int main()
{
    #ifdef LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
//  freopen("out.txt", "w", stdout);
    #endif

    while(~scanf("%lld%lld", &N, &M))
    {
        if(!N && !M) break;
        LL D = GCD(N*(M-1), M*M);
        printf("%lld/%lld\n", N*(M-1)/D, M*M/D);
    }
    return 0;
}