[CQUOJ 21448] 会做题的兔兔 （数学+DP）

题意大意是有一个整数，可以用若干个 2的 n次幂累加得到，问一共有多少种累加方案
统计方案的题，最重要的是做到不重复，不遗漏
dp[i][0]表示构成 i中不含 1的方案有多少种
dp[i][1]表示构成 i中含 1个 1的方案有多少种
dp[i][2]表示构成 i中含 1的方案有多少种
最后答案是 dp[N][0] +dp[N][2]
思路如下：
1) 如果 i是奇数，那么必然要有 1，含一个 1的方案可以通过 i-1不含 1的方案，在后面加一个 1得到
所以 dp[i][0] = 0, dp[i][1] = dp[i-1][0]
2) 如果 i是偶数，那么不可能有单独的 1，不含 1的方案可以通过 i/2的情况得到
因为 i/2这个数的所有方案，乘以 2以后就不含 1
所以 dp[i][0] = (dp[i/2][0] +dp[i/2][1]), dp[i][1] = 0
3) 而含 1的情况，可以通过 i-1 的所有情况，在后面加一个 1，即是 i含 1的所有情况
所以 dp[i][1] = (dp[i-1][0] + dp[i-1][1])

之所以要选择 1进行讨论，是因为 1这个数太特殊了
在构成 i的过程中，肯定有一种 i个 1加起来的情况
而其他的情况均可建立这个基础上，把若干个 1缩成 2的 n次幂 （有点像 2048）

不过这题貌似也可以用背包做： dp[i][j] 表示组成 i的最大的数为 $2^j$的方案数

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
using namespace std;
typedef pair<int,int> Pii;
#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define CLR(a) MST(a,0)
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define Pow2(a) a*a
int maxx(int a,int b){return a>b?a:b;}
int minn(int a,int b){return a<b?a:b;}
int abss(int a){return a<0?(-a):a;}

const int MOD=1000000007,maxn=1e6+10;
int N;
int pow2[32];
LL dp[maxn][3];

int main()
{
    pow2[0]=1;
    for(int i=1; i<32; i++) pow2[i]=pow2[i-1]*2;
    dp[1][0]=0;dp[1][1]=dp[1][2]=1;
    for(int i=2; i<maxn; i++)
    {
        if(i&1)
        {
            dp[i][0]=0;
            dp[i][1]=dp[i-1][0];
        }
        else
        {
            dp[i][0]=((LL)dp[i/2][0]+dp[i/2][2])%MOD;
            dp[i][1]=0;
        }
        dp[i][2]=((LL)dp[i-1][0]+dp[i-1][2])%MOD;
    }
    while(~scanf("%d", &N))
    {
        if(N==1){puts("1");continue;}
        printf("%d\n", ((LL)dp[N][0]+dp[N][2])%MOD);
    }
    return 0;
}