UVA 11427 Expect the Expected 概率与期望

最新推荐文章于 2025-04-28 15:27:03 发布

lenga5241

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分类专栏：概率与期望文章标签：概率与期望

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本文探讨了在特定条件下，玩家玩纸牌游戏的平均天数。通过建立数学模型，计算了玩家在不同胜利比例下停止游戏的平均次数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=2422

题目大意：每天晚上你都玩纸牌，如果第一次就赢了，就高高兴兴的去睡觉，如果输了就继续玩。假如每盘游戏你获胜的概率都为p，每盘游戏输赢独立。如果当晚你获胜的局数的比例严格大于p时才停止，而且每天晚上最多只能玩n局，如果获胜比例一直不超过p的话，以后就再也不玩纸牌了。问在平均情况下，你会玩多少个晚上纸牌。

解题思路：这题和毛球的题比较相似，每天晚上的情况相互独立，先研究单独一天的情况，只玩一晚上纸牌，垂头丧气的睡觉的概率Q.

设d[i][j]表示前i局中每局结束后的获胜比例不超过p ，且前i局一共获胜 j 局的概率.

则根据全概率公式有j/i<=p时，d[i][j]=d[i-1][j]*(1-p)+d[i-1][j-1]*p;其它情况d[i][j]=0;边界为d[0][0]=1,d[0][1]=0;

则Q=d[n][0]+d[n][1]+d[n][2]+...d[n][n].

法1：

用数学期望的定义计算游戏总天数X的数学期望。

X=1 的概率为Q

X=2的概率为Q*（1-Q）

X=3的概率为Q*(1-Q)^2

。。。

X=k的概率为Q*（1-Q）^(k-1)

故EX=Q+2*Q*（1-Q）+...+k*Q*（1-Q）^(k-1)+... ①

令s=EX/Q=1+2*(1-Q)+3*(1-Q)^2+...

则（1-Q）*s=（1-Q）+2（1-Q）^2+... ②

①-②得EX=Qs=1+(1-Q)+(1-Q)^2+...=1/Q;

法2：

设数学期望为e,情况分两类：

第一天晚上垂头丧气，概率为Q，期望为1；

第一天晚上高高兴兴，概率为（1-Q），期望为e+1；

得方程：e=Q*1+(e+1)*(1-Q); 得e=1/Q；

代码如下：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int main()
{
    int T,a,b,n,cas=1;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d/%d%d",&a,&b,&n);
        double p=(double)(a*1.0/b*1.0);
        double d[105][105];
        memset(d,0,sizeof(d));
        d[0][0]=1.0;d[0][1]=0.0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=0;j*b<=i*a;j++)
            {
                d[i][j]=d[i-1][j]*(1-p);
                if(j) d[i][j]+=d[i-1][j-1]*p;
            }
        double Q=0.0;
        for(int j=0;j*b<=a*n;j++)
            Q+=d[n][j];
        printf("Case #%d: %d\n",cas++,(int)(1/Q));
    }
    return 0;
}