BNU 1084 Expected Allowance （dp||母函数||深搜）

题目链接：http://www.bnuoj.com/v3/problem_show.php?pid=1084

题目大意：给你n个骰子，每个骰子有m个面，点数分别为（1-m），现在同时摇这n个骰子，（得到的点数和）-k  即为小明得到的钱数，当然小明每次最少会得到一元（即最后结果小于等于1时），问小明得到钱数的期望值。

解题思路：由于此题m*n较小，故按照普通的期望计算就行，即   摇到某个点数（i）的概率p*摇到的点数（i），其中显然（n=<  i  <=n*m）除以总的情况数（m的n次方）（每次都有m种可能）；  那么此题的重点就是求（n到n*m每个数被分成n份的分法），其中 （1 1 4 和1 4 1 和4 1 1为不同的分法）。

法一：深搜（比较暴力）

///n个骰子，每个骰子有（1-m）种权值，随意组合
///直到n个骰子用完，得到的点数和即为当前组合的期望,
///深搜递归所有的组合，即得到ans
#include<cstdio>
#include<cmath>
///n为剩余骰子数，sum为已选（m-n）个骰子的和
int dfs(int n,int m,int k,int sum)
{
    int ans=0;
    if(n==0) ans+=sum>k?sum-k:1;
    else
    {
        for(int i=1;i<=m;i++)
        ans+=dfs(n-1,m,k,sum+i);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n,m,k;
    while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&k),(n+m+k))
    {
        printf("%.10lf\n",dfs(n,m,k,0)/pow(m,n));
    }
    return 0;
}

法二：母函数

关于母函数的基础知识，详见http://blog.youkuaiyun.com/u011632342/article/details/24269401

其中代码中的c1[ k ] ，存储的是n个骰子摇到和为k的方案数，故最后的结果要   sigma（方案数*权值）/总方案数

///对于基础母函数，就是处理组合一类的问题，但基础母函数对于一个物品可以选择不选（即权值为0）
///但在此题中，每次摇骰子，每个骰子的点数肯定不为0，这点需要初始化，循环时也要注意
#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

int c1[1000005],c2[100005];         ///c1为结果数组，c2为中间结果数组
int main()
{
    int n,m,k;
    while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&k),(n+m+k))
    {
        memset(c1,0,sizeof(c1));
        for(int i=1;i<=m;i++)        ///对于第一个骰子初始化
            c1[i]=1;
        memset(c2,0,sizeof(c2));
        for(int i=2;i<=n;i++)         ///因子的个数，即骰子的个数（第一个骰子已经初始化）
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)    ///每个因子的每一项，即骰子的每个面的权值（从1循环）
            {
                for(int kk=1;kk+j<=i*m;kk++)   ///c1数组的每一项（从1开始），即当前能组成的点数都要循环
                    c2[kk+j]+=c1[kk];
            }
            memcpy(c1,c2,sizeof(c2));///拷贝函数
            memset(c2,0,sizeof(c2));
        }
        double sum=0;
        for(int i=n; i<=n*m; i++)
            sum+=(i>k?c1[i]*(i-k):c1[i]);
        printf("%.9lf\n",sum/pow(m,n));
    }
    return 0;
}

法三：DP

///dp思想类似于母函数，其中dp[j]表示n个骰子摇到和为j的种数
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int dp[100005];

void fun(int n,int m)
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1; i<=m; i++)  ///初始化第一枚骰子
        dp[i]=1;
    for(int i=2; i<=n; i++)   ///总骰子数
        for(int j=i*m; j>=i; j--) ///前i枚骰子的点数区间,此处要倒序求dp[j]
        {
            int a=0;
            for(int k=1; k<=m; k++)   ///每种情况下骰子的可能的面值
            {
                if((j-k)<=(i-1)*m&&(j-k)>=i-1)  ///前i个骰子的值-第i个骰子的值 出现在 前i-1个骰子的和里
                a+=dp[j-k];                    ///a用来统计有多少种方法能到达 j
            }
            dp[j]=a;
        }
}
int main()
{
    int n,m,k;
    while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&k),(n+m+k))
    {
        fun(n,m);
        double ans=0;
        for(int i=n; i<=n*m; i++)
            ans+=dp[i]*(i-k>0?i-k:1);
        printf("%.9lf\n",ans/pow(m,n));
    }
    return 0;
}