平和少年的博客

由于光纤的双折射效应和动态扰动(如温度变化、机械震动等)，这两个偏振态会发生随机耦合，导致接收端无法区分原始信号。其核心思想是通过数字均衡技术，逆向估计信道传输矩阵(如琼斯矩阵或模式耦合矩阵)，在接收端对混合的偏振或模式信号进行分离和均衡。逆琼斯矩阵方法常用于逆向补偿由光学系统或传输信道（如光纤）引入的偏振态（SOP, State of Polarization）畸变。表示(如2x2琼斯矩阵)，则接收端接收到的信号为（不考虑噪声）所以逆琼斯矩阵可以用于抵消信道的偏振畸变，恢复原始信号。

切比雪夫节点依赖于在节点处精确匹配函数值，但是在某些问题中，我们可能无法或不需要再特定节点处精确匹配函数值，例如在函数逼近中，我们可能只关心整体误差的最小化，而不关心特定点的匹配。从切比雪夫节点的表达式可以看出，它在[-1,1]上分布不均匀，靠近区间端点的节点更密集，所以使用切比雪夫节点进行插值时，可以显著减少高次插值的震荡现象(龙格现象)。- 切比雪夫节点虽然能够减小高次插值的震荡现象，但是在高次逼近中，仍然可能存在数值不稳定性，交错定理通过控制误差的分布，可以进一步提高逼近的稳定性和精度；

【6】由切比雪夫多项式的根进行拉格朗日插值的插值节点所得到的插值多项式在误差上界的意义上是最优的。基于上面的式子，我们可以推导切比雪夫插值多项式系数的表达式。具体地，一个连续函数。进一步地，可以推导离散情况下，切比雪夫多项式的正交性质，它满足。第一类切比雪夫多项式的三角函数表达式为。可以用切比雪夫多项式进行近似表示。显然，从上面的递推公式可知，，在上式两端同时乘以系数。表示切比雪夫多项式零点，轮流取最大值1和-1。

切比雪夫插值是一种基于切比雪夫节点的多项式插值方法，其优势是减少插值误差(特别是龙格现象：表现为高维插值时在边缘处插值误差骤增)。本文对其基本操作进行说明。

无论是在matlab还是python中，调用卷积函数都需要设置操作模式的参数，很多人对这个参数的设置有疑问，本文就详细介绍这一参数中每种设置的效果。

在信号处理应用中，经常需要生成各种规则的标准信号，如正弦信号、方波信号、三角波信号等，虽然现在有很多现成的库函数可供调用，但是理解这些波形的生成原理，在需要的时候简单敲一两行代码就把它实现出来，不仅省去了查照库函数和理解库函数用法的麻烦，而且没准还能在别人面前浅秀一把，也不失为是一件乐事。

本文将详细介绍IQ Tool中的Frequency Switching模块的使用方法和实现原理，具体代码细节参考iqfsk.m。

对于学过信号处理的人来说，往往可以脱口而出：实信号是双边谱，复信号是单边谱。但是，若在浅浅地问上一句：为什么？很多人就瞬间语塞，抓耳挠腮，说不出个所以然来。我想，但凡学东西总是要知根知底的好，知其然还要知其所以然。所以本文就把这个大家都很熟悉的结论做一个说明。

本文将详细介绍IQ Tool中的OFDM模块的使用方法和实现原理。

OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing)全称为正交频分复用，在无线通信中被广泛应用。本文结合下图对OFDM的基本原理进行说明。图1. OFDM信号生成流程示意图上图为OFDM信号生成、传输和接收的整体流程图。结合该流程图对其中每一个模块进行详细说明。

本文将详细介绍IQ Tool中的Radar Pulses/Chirps模块的使用方法和实现原理。

本文将详细介绍IQ Tool中的Muti-Tone & Noise模块的使用方法和实现原理。

IQ tool是Keysight的一款开源的波形生成软件，用于生成各类波形文件，并与Keysight的AWG进行连接，将波形文件导入AWG进而产生对应的波形信号。该软件强大的波形生成功能，极大地拓展了AWG的使用边界，让AWG适用于更多应用场景，同时也极大地提升了AWG的使用便利性。本文对IQ Tool进行一个整体的简单介绍，后续将针对其每一个功能模块进行详细说明。目前IQ Tools支持下面这些类型的波形生成：(1): 支持设置采样率、信号频率数、信号频率范围、相位等参数。

最小相位系统，顾名思义，关注的是系统的相位特性，且“最”字就意味着有比较，比较需要控制变量，所有被比较的系统的幅频特性需保持一致。显然，若将一个最小相位系统的传递函数和一个全通系统的传递函数相乘，乘积中将出现右半平面上的零点(全通系统的零点与极点关于虚轴对称，而极点只有在左半平面系统才稳定，所以稳定全通网络的零点只能位于右半平面)，所以两者级联后的系统为非最小相位系统。所以，任何零极点关于虚轴对称的系统都为全通系统，不同零极点分布仅影响系统的相频特性，基于该性质，全通系统常用于对已知系统的相位进行调整。

高速串行传输系统除了进行Tx测试(测量DUT发出的信号质量)外，由于信号传输过程中会受到各种非理想因素，如噪声、ISI、串扰等，的影响，导致Rx端信号进一步恶化，因此还需要对Rx端进行压力测试，以探究在各种压力因素下，Rx的工作性能。(2）在(1)中说到BERT或PG的作用(之一)是生成测试码型，这仅仅是为了和上图对应上，实际测试时，测试信号是由DUT(Device under Test)发出的，我们做的所有测试本质上都是为了测试DUT的性能。和系统带宽，计算噪声大小，该噪声值即为要求的校准后的噪声大小。

【参考文献】

常用的输入信号包括冲激信号、阶跃信号、脉冲信号等，对应的系统输出分别称为冲激响应、阶跃响应和脉冲响应。以上述脉冲信号为系统输入得到的系统输出即为系统的脉冲响应。由于很多高速串行通信中所用信号(如NRZ，PAM4等)都可以拆成多个脉冲信号的叠加，因此从脉冲响应中可以推导实际信号过系统后的数据，故脉冲响应在高速串行通信的仿真分析中应用极广。将上述阶跃信号作为系统输入，得到的系统输出即为系统的阶跃响应。对冲激信号进行积分可得到阶跃信号，但是对阶跃信号进行微分，从连续域的角度来看，并不能得到冲激信号。

用不同响应来计算因果性程度可能会得到明显不同的结果，如下图所示，红色表示系统的冲激响应，蓝色表示系统的脉冲响应。这说明有大约11%的非因果性是来源于系统的高频响应的(高于信号波特率)，所以当要求系统工作在低频时，可以大致认为系统是因果的。上面的表达式相对比较复杂，在实际计算中由于各种非理想因素或计算误差的影响，可能导致一个因果系统的也无法完全满足上面的条件。从上面的式子可知，因果系统频响的实部和虚部并不是相互独立的，由实部可以推出虚部，同样由虚部也可以推出实部。从上面的分析可知，因果系统的冲激响应满足。

插值问题的关键是求解插值多项式，显然利用上述线性方程组，可直接求得多项式系数的最小二乘解。但计算过程涉及矩阵求逆，计算量较大，后面将探究新的计算方法。之间并没有明确关系，所以插值总是有误差的。不过，若对原函数和插值函数增加一定的约束，则可能使两者保持一致。该种插值称为代数插值，代数插值的几何意义，其实就是找一条过上述。，这种插值称为线性插值。，显然，可过这两个点作一条直线，目的是用直线。可被唯一确，即该插值多项式有且只有一个。此时，仿照二次插值的构造方法，令。次多项式，称为插值基函数，它满足条件。

为此，需要在抽取之前进行低通滤波，保证信号最高频率不大于抽取后采样率的一半(特别注意，这边滤波和抽取的操作是不能调换的，因为滤波是无法将混叠后的频谱分离开的)。插值后采样升高，从归一化频率的角度理解，插值后信号频谱被压缩，所以采样率内可以容纳更多信号频谱，即原来在不同延拓周期内的频谱都会被包含到新采样率下的同一个延拓周期内，导致在一个采样率范围内，存在多个完全一样的频谱，这些频谱称为镜像频谱，需要用低通滤波器进行滤除。图1. 抽取效果示意图(红色虚线表示连续信号，红色点表示原始采样点，黑x表示降采样点)

对于DTMB这种没有导频的信号来说，它可以通过帧头PN序列得到帧头处的信道响应结果，它有点像块状导频的情况，理论上可以联合多帧帧头的信道响应结果，对其沿时间轴进行插值，从而得到完整信道响应结果，但是由于相邻帧头之间的距离较远，插值的效果往往很难保证，所以往往就直接把帧头的信道响应当成是整帧数据的信道响应，其实这在信道快速变化的情况下是不合适的。：如下图所示，通过导频信息只能得到图中红色圆圈处的信道响应值，此时需要将其沿频率轴进行插值，就能得到任意子载波上的信道响应值，即沿。图1 不同形式的导频。

确实，如果对波形的操作止步于此，那补零操作确实没有多大价值，但是我们通常会在补零操作后面接一个低通滤波器，这个时候补零操作相对于其他插值的优势就体现出来了，且听我慢慢道来！(这边需要说明一下的是，在很多教科书里面说插值会导致信号频谱的压缩，这是在归一化频率(相对于采样率)的角度上说的，比如插值前信号的频率范围为0~10Hz，插值后信号的频率范围仍然为0-10Hz，这是不会发生变化的。在进行信号处理的时候，我们经常会对时域或频域的数据进行补零操作，有在数据前/后补零的，也有在采样点中间补零的。

抖动是影响信号完整性的重要因素。为了生成多个周期的信号，我们需要按照上面的方式，生成多个周期的信号，并将各个周期的信号拼接成完整的信号，其中各个周期的上升/下降时间及抖动值都是可以独立指定的。上图中未体现抖动的影响，抖动表现为实际跳变沿位置相对于跳边沿理想位置的时间偏差，带抖动的时钟信号示意图如下。所以，实际只能得到信号的截断傅里叶级数展开的形式，保留的谐波次数越高，得到的波形越准确，但计算量越大。时钟信号是一种周期信号，为了将时钟信号表示为傅里叶级数展开的形式，需表示出时钟信号在一个周期内的表达式。

weight_2中，第一个元素为100，第二个元素为0.01，第三个元素为1，表示在最优化过程中我们最关注通带的性能，对过渡带的性能要求最低。的最大值最小化，scipy中是通过函数remez来实现的，下面通过一个例子进行说明：我们期望设计一个带通滤波器，系统采样率是2000Hz，阻带是[0,250]Hz和[700,1000]Hz，通带是[350,550]Hz。第三个参数是系数向量。需要说明的是，基于最小二乘的方法，当weights中所有元素保持一致时，它的效果和boxcar窗函数的设计效果是一致的。

为了探究产生上述现象的原因，我们将传输函数的表达形式转换为ZPK模式(极点都在单位圆内的系统是稳定系统，否则系统是不稳定的)，结果如下，可见有4个极点是在单位圆外的，所以此时系统是不稳定的。其中，每一行均保存了一个二阶滤波器的传输函数，每一行的前3个元素表示二阶滤波器传输函数中的分子系数，每一行的后3个元素表示二阶滤波器传输函数中的分母系数。从上面仿真结果可见，此时波动小很多，系统稳定性得到极大提升，同样地，我们可以观察此时的极点分布情况，可见所有极点都在单位圆内，所以此时系统是稳定的。

则表示延迟单元不等于一个采样点，比如在FFE均衡器中，延迟单元通常为一个符号周期，此时。个0，则可以利用输入序列和插0后的抽头系数进行卷积，求得输出序列。对比(1)(2)可发现两个式子形式相同，差异体现在延迟单元上，当延迟单元。进行插值，利用插值后的序列与输入序列进行卷积，求得输出序列。，则表示图1中是以一个采样点为单位进行延迟的。从上面的结果可知，若在相邻抽头系数中间插入。设FIR滤波器的冲激响应为。时，两者的作用完全一致。否则，两者是有差别的。，则输出序列可表示为。，不是一般地，我们令。

   1. 四种FIR滤波器对称结构   设FIR滤波器的输入和输出序列分别为x[n]x[n]x[n]和y[n]y[n]y[n]，滤波器系数为ωm,0≤m<M\omega_m,0\leq m<Mωm​,0≤m<M，则滤波过程可用如下差分方程表示y[n]=∑m=0M−1ωmx[n−m](1)y[n]=\sum_{m=0}^{M-1}\omega_m x[n-m] \tag{1}y[n]=m=0∑M−1​ωm​x[n−m](1)  此外，可将输出序列写成系统冲激响应h[n]h[n]h

包含完整的理论推导和代码实现

当条件数不是无穷大，但很大时，矩阵接近奇异，此时矩阵的行向量或列向量的线性相关性很强。此外，由条件数的定义可知，正交矩阵或酉矩阵的条件数为1。的巨大变化，否则若观测向量中有些许噪声就会导致解向量的极大误差。条件数常用于衡量线性方程组的稳定性，条件数越大，矩阵稳定性越差，越接近于病态(奇异矩阵)。时，方程数目大于未知参数数目，上述方程为超定方程，可以用最小二乘法求解。，显然条件数越大，待求向量的变化受观测向量和系数矩阵变化的影响越大，方程越不稳定。，所以经过QR分解后，将线性方程组的条件数由。

且各个维度相互独立，则其联合概率密度等于各个维度上概率密度的乘积，所以。，则上式就可以化简为。称为复高斯随机变量。

从上面的表达式可以看出，两个序列的相关运算和线性卷积运算对应的Toeplitz矩阵的形式一样，但是序列元素在矩阵中的位置不一样，且此时Toeplitz矩阵是一个。采用矩阵形式表示容易进行后续分析与计算，因此在相关运算和线性卷积运算中，Toeplitz矩阵很常见，它的相关性质可以参考《各个位数对齐(因长度不一致导致的两个序列不对齐的情况，对应数位等效于与0对齐)，形成竖式；各个位数对齐，(因长度不一致导致的两个序列不对齐的情况，对应数位等效于与0对齐)形成竖式；的两个序列的自相关结果长度为。

而根据上面推导出来的线性可分的判决条件，我们其实不必要去关注维度提升之后，样本在高纬度空间中的具体形式，而只需要知道维度提升之后样本在新的高维空间中的内积就行了，这个思想其实就是核函数的思想，而。上面仅仅是一个示意性的推导过程，在实际情况下其实并不是很合理，因为我们其实更希望的是两个类别的边界上的样本点的距离越远越好，而不是中间样本点的距离。而目前已经有一些常用的核函数可以利用了。上面研究的均是线性可分的情况，这种情况未免太过理想，在实际应用中，不同类别的样本往往是线性不可分的，比如下图所示的情况。

fxδfxgTδ21​δThδOδ31在(2)中xx1​...xn​Tδδ1​...δn​Tg∂x1​∂f​...∂xn​∂f​Th​∂x12​∂2f​∂x2​∂x1​∂2f​⋮∂xn​∂x1​∂2f​​∂x1​∂x2​∂2f​∂x22​∂2f​⋮∂xn​∂x2​∂。

不同方法推导Gamma分布可加性产生的矛盾Gamma分布的概率密度函数表示如下:X∽G(α,β):f(x)=βαΓ(α)xα−1e−βxX \backsim G(\alpha,\beta): f(x)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}X∽G(α,β):f(x)=Γ(α)βα​xα−1e−βx其对应的矩母函数为Mx(t)=(1+βt)−α{\rm M}_x(t)=(1+\beta t)^{-\alpha}Mx

显然此时pdf和cdf的表达式均很复杂，也有可能还没有化简到最简形式，但是暂时不知道怎样化简下去了。对于更一般的情况，即两个随机变量服从参数不同的Gamma分布，则这两个随机变量和的随机变量的矩母函数可以表示。根据概率论相关知识，我们知道，两个随机变量的和的pdf等于各自pdf的卷积，因此。​​​，该性质称为Gamma分布的可加性，其更具体的推导过程可以查看《情况下的两个Gamma分布随机变量的和的pdf和cdf进行推导。两个服从Gamma分布的随机变量的和的pdf和cdf。，将其代入(3)并化简有。

概率密度函数和概率分布函数的基本概念：随机变量是指在任何时间点上，值都是不能完全确定的，最多只能知道它可能落在哪个区间上，那么怎样去描述这个变量呢？只能通过概率。概率密度函数(Probability Density Function, PDF)和概率分布函数(又称累积分布函数, Cumulative Distribution Function, CDF)分别从两个不同的角度来描述随机变量的概率。在说明PDF和CDF之前，首先来看一个统计问题，对于一组随机数，通常可以利用直方图来表示这组随机数在各个区间上的

现在有一个问题就是设置检测门限时需要知道采样样本中的噪声功率，这个功率是很难从单个样本(待检测单元)中获取得到的(很难对待检测单元进行信号分离，获取噪声信号)，所以需要利用其它单元对该噪声功率进行估计。所以从上面的分析可知，求某个检测器的性能，首先需要确定检测门限，检测门限由似然比检测器求得，如。需要理解的是上面的结果是基于以下假设进行的，即I/Q通道的噪声均服从高斯分布，平方率检波器，Swerling1 或 Swerling2型目标，并且只有一个待检测单元的数据。最后需要确定样本充分统计的概率密度函数。

而patternnet函数似乎是专门为分类问题而设置的，直接通过该函数手动设置的参数比较少(只有神经网络层数，模型训练方法和模型的损失函数)，它默认的损失函数就是crossentropy函数，且要求输入的标签必须是one-hot编码的形式，根据其输出结果中各个类别的概率和加起来恒等于1，似乎可以推断出它的输出层的激活函数是softmax。numWeightElements:这个参数表示这个网络所有的权值和偏置值的数目，设网络从输入层到输出层的维数分别为，那么这个参数的值可以计算为；这个参数一般设置为1；

时，显然通过匹配滤波输出的峰值可以很容易分辨两个目标，当两个目标不断靠近直至发生重叠时，两个目标回波的匹配滤波结果将出现叠加(因为距离变化会引起回波相位发生变化，所以两个回波的匹配滤波输出的相位之间的关系是随机的，所以这边的叠加可能是同向叠加或反向相消或其他不完全同向和反向的叠加方式，上图仅对同向叠加的情况进行了示意说明，对于其他形式的叠加情况可以仿照上图进行分析)。的输出范围)全部是零，这个时候，显然通过匹配滤波之后的峰值，可以将两个靠得无限近的目标进行区分，也就是说，此时雷达的距离分辨率无限优越。

显然通过将三角级数形式转化为指数级数形式，出现了负频率，所以负频率完全是数学运算的产物，没有实际的物理含义。同时若以信号频率为横轴，幅度为纵轴进行绘图，便得到了信号的频谱图，显然此时信号只在某些特定的频率上存在，所以信号频率将呈现离散的多条谱线，相邻谱线之间的频率间隔为。在推导上述结果的时候突然对函数的理解产生了好奇，在实际应用过程中经常看到各种类型的函数，函数名不一样，输入变量不一样，那到底函数是什么，不同类型函数之间怎样进行转化，每一种类型函数实际对应的意义到底是什么，这是在下面的内容需要说明的。