次序统计量的概率密度函数

次序统计量的概率密度函数 首先给出次序统计量的概念：

设$X_1,...,X_n$​是从总体中抽样得到的样本，将其按从小到大的顺序进行排列，得到一组有序的样本值$X_{(1)},...,X_{(n)}$，其中$X_{(1)}\le X_{(2)}\le ...\le X_{(n)}$，则$X_{(k)}$为其中单个次序统计量。以下采用两种方法推导$X_{(k)}$​的概率密度函数​。

(1)基于分布函数的推导思路

根据分布函数的定义有$F_{X_{(k)}}(x)=P(X_{(k)}\le x)$，即次序统计量$X_{(k)}$的分布函数为事件$X_{(k)}$小于等于$x$的概率，由于$[X_{(1)},...,X_{(k)},...,X_{(n)}]$是一个有序样本序列，因此，下列子事件均能引起事件$X_{(k)}\le x$的发生：

有$k$个$X_{(i)}$的值不大于$x$; 有$k+1$个$X_{(i)}$的值不大于$x$;… 有$n$个$X_{(i)}$的值不大于$x$

所以：
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}{F}_{X_{(k)}}(x)& =P(X_{(k)}\le x)=\sum _{i=k}^n[有i个X_{(i)}不大于x]=\sum _{i=k}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)[F(x){]}^i[1-F(x){]}^{n-i}\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
在上面的表达式中，$F(x)$​​表