最优FIR滤波器设计

   1. 四种FIR滤波器对称结构
   设FIR滤波器的输入和输出序列分别为$x[n]$和$y[n]$，滤波器系数为${\omega }_m,0\le m<M$，则滤波过程可用如下差分方程表示
$$y[n]=\sum _{m=0}^{M-1}{\omega }_{m}x[n-m]\text{\hspace{1em}(1)}$$
  此外，可将输出序列写成系统冲激响应$h[n]$与输入序列的卷积，如下
$$y[n]=\sum _{m=0}^{M-1}h[m]x[n-m]\text{\hspace{1em}(2)}$$
  从上面的表达式可以看出，当以样点为单位进行延时时，FIR滤波器的抽头系数和其冲激响应本质上是一致的。
   FIR滤波器最吸引人的性质是可以实现线性相位(保证信号过滤波器后不失真)。具有线性相位的FIR滤波器的冲激响应满足如下对称条件：
$$h[n]=\pm h[M-1-n]\text{\hspace{1em}(4)}$$
  上面的表达式包含4种情况，分别称为1/2/3/4型FIR滤波器，对应关系如下：
$$\{\begin{array}{c}1型：h[n]=h[M-1-n],M为奇数\\ 2型：h[n]=h[M-1-n],M为偶数\\ 3型：h[n]=-h[M-1-n],M为奇数\\ 3型：h[n]=-h[M-1-n],M为偶数\end{array}$$
  下面以1型FIR滤波器为例，推导其频率响应的表达式，其他形式的FIR滤波器可按类似方式进行推导。
$$H(e^{j\omega })=\sum _{m=0}^{N-1}h[n]e^{-jn\omega }=(\sum _{n=0}^{(N-3)/2}h[n]e^{-jn\omega })+h[\frac{N-1}{2}]e^{-j(N-1)\omega /2}+(\sum _{n=(N+1)/2}^{N-1}h[n]e^{-jn\omega })$$
  由于$N$为奇数，所以上式以中间点为对称重新，将求和操作分成前面部分+中间部分+后面部分。对后面部分，令$m=N-1-n$，则${\sum }_{n=(N+1)/2}^{N-1}h[n]e^{-jn\omega }={\sum }_{m=0}^{(N-3)/2}h[N-1-m]e^{-j(N-1-m)\omega }={\sum }_{m=0}^{(N-3)/2}h[m]e^{-j(N-1-m)\omega }$，将其带入上式得到：
$$\begin{gathered} H(e^{j\omega })=(\sum _{n=0}^{(N-3)/2}h[n]e^{-jn\omega })+h[\frac{N-1}{2}]e^{-j(N-1)\omega /2}+(\sum _{n=0}^{(N-3)/2}h[n]e^{-j(N-1-n)\omega }) \\ =(\sum _{n=0}^{(N-3)/2}h[n](e^{-jn\omega }+e^{-j(N-1-n)\omega }))+h[\frac{N-1}{2}]e^{-j(N-1)\omega /2} \\ =e^{-j(N-1)\omega /2}[\sum _{n=0}^{(N-3)/2}h[n](e^{-j\omega [n-(N-1)/2]}+e^{j\omega [n-(N-1)/2]})+h[\frac{N-1}{2}]] \\ =e^{-j(N-1)\omega /2}[2\sum _{n=0}^{(N-3)/2}h[n]cos(\frac{N-1}{2}-n)\omega +h[\frac{N-1}{2}]] \end{gathered}$$
  上面的表达式中，令$m=(\frac{N-1}{2}-n$，则可进一步得到：
$$H(e^{j\omega })=e^{-j(N-1)\omega /2}[2\sum _{n=1}$$