微元思想的重要性

微元思想的重要性

@(微积分)

在微积分这边，我们常常说微元思想是核心，是理解微积分的重要支撑概念。仅仅会用牛顿-莱布尼兹公式解题，会求解二重积分，三重积分或者四类曲线曲面积分，还不算理解了微元。

比如举一个例子，如果不能灵活的转换视角，识别微元，就是很难的题目了。

设f(x)可导，$F(x,y) = \frac{1}{2y}\int_{-y}^yf(x+t)dt$,其中$-\infty < x < +\infty, y > 0$。求解三个问题：
1）$\lim_{y\rightarrow 0^+}F(x,y)$

2）任意的y>0求解$\frac{\delta F}{\delta x}$

3）求$\lim_{y\rightarrow 0^+}\frac{\delta F}{\delta x}$

分析：对于1），是很直接的求解极限，洛必达法则即可。

$$\lim_{y\rightarrow 0^+}F(x,y) = \lim_{y\rightarrow 0^+} \frac{1}{2y}\int_{-y}^yf(x+t)dt \\ = \lim_{y\rightarrow 0^+} \frac{f(x+y)+f(x-y)}{2}$$

注意到这里是变上限+变下限积分，因此求导时都要乘上上下限对y的导数。对了，这里y是微元。元的意思就是变量，只不过是趋向于0。数学里趋向于0的变量很有意思，可积可导。

到这里，分母已经是个常数了，不再被分母趋向于0限制，那么回头关注分子。根据题意，$f(x)$可导，在一元函数中，可导必连续：

$f(x+y) = f(x-y) = f(x)$

再强调一次，y是微元。既然连续，那么x往左挪挪，往右挪挪，挪动的距离几乎可忽略，那么自然函数值还是一样的。因此：

$\lim_{y\rightarrow 0^+}F(x,y) = f(x)$

第2）小题。首先还是对这个比值的翻译，直接就是定义。

$$\frac{\delta F}{\delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{F(x+\Delta x) - F(x,y)}{\Delta x}$$

现在微元是我们自己弄出来的，要关注这个，它是求导的元素。
上面的形式还不能求，需要代入题干的定义。

$$\frac{\delta F}{\delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{2y}\frac{\int_{-y}^yf(x+\Delta x + t)dt - \int_{-y}^yf(x+t)dt}{\Delta x}$$

当$\Delta x$趋近0时，$f(x+\Delta x+t)$趋近于$f(x+t)$。则在有限区间上的积分，分子趋近于0.

这样就可以愉快使用洛必达了。分子中减数不含$\Delta x$，洛必达一下就为0了，而被减数含有$\Delta x$，但是需要抽出来，这个容易办到，换元即可。主要是清楚该对谁进行求导：微元。

不妨令$\Delta x+t = u$,

$$\frac{\delta F}{\delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{2y}\frac{\int_{\Delta x-y}^{\Delta x + y}f(x+u)du - \int_{\Delta x-y}^{\Delta x +y}f(x+t)dt}{\Delta x} \\ = \frac{1}{2y} \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x+y) - f(x+\Delta x-y)}{1} \\ = \frac{1}{2y} \lim_{\Delta x\rightarrow 0}f(x+\Delta x+y) - f(x+\Delta x-y)\\ = \frac{1}{2y} [f(x+y) - f(x-y)]\\ $$

所以时刻抓住微元是谁，要对微元做啥，这样就不会混淆字母之间的关系。

关于第3）个，没什么好说的点，但是也要注意分开，分别套定义。
且y是微元对y进行求导处理。

$$\lim_{y\rightarrow 0^+}\frac{\delta F}{\delta x} = \lim_{y\rightarrow 0^+}\frac{1}{2y} [f(x+y) - f(x-y)] \\ = \frac{1}{2}\lim_{y\rightarrow 0^+}\frac{ f(x+y) - f(x-y)}{y} \\ = \frac{1}{2}\lim_{y\rightarrow 0^+}\frac{ f(x+y) - f(x)}{y} + \frac{1}{2}\lim_{y\rightarrow 0^+}\frac{ f(x) - f(x-y)}{y} \\ = f'(x)$$

THE END.