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线面积分的一些思考@(微积分) 关于线面积分，思考路径如下： 1. 第一型曲线积分：直接计算， 重点是对ds的转化，用偏导数形成系数补偿。比如x=x(t),y=y(t),→x′2(t)+y′2(t)‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√dtx = x(t), y = y(t),\rightarrow \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt 2. 空间曲线也是一样，直接计算，也

关于第一型曲面积分的再思考@(微积分)有些问题，看着复杂，却很好解。同样，有些问题看着很简单，但是却很难下手。举一个关于第一型曲面积分计算的例子。第一型曲面积分基础解法要干三件事：投影代入计算三件事之间没有逻辑顺序，想先干谁就干谁。目标是为了化为二重积分。曲面太弯了，我们需要在比较直的场面下才好进行积分。或者可以固化为一种自己喜欢的顺序：一投二代三计算 设曲面S: x2+y2=a2,

隐函数+导数定义思路@(微积分)有一种冲动的情况是，看到方程就想求解出方程的表达式，然后再根据题意是求积分还是求解导数，以为这样就是解决方案。诚然，能求解表达式的问题，当然首先就上手求解。但是当感觉求不下去的时候，要理性判断，这个问题不该这么解，应该有更技术一些的思路。举一个例子： （2013.9）设函数y = f(x)由方程y−x=ex(1−y)y-x = e^{x(1-y)}确定，求limn→

有限项加和的极限求解思路定式@(微积分)设m是有限大小的正整数。a1f1(x),a2f2(x),a3f3(x),...,amfm(x)a_1f_1(x),a_2f_2(x),a_3f_3(x),...,a_mf_m(x)是一系列数值。则, max(aifi(x))≤∑mi=1aifi(x)≤m⋅max(aifi(x))max(a_if_i(x)) \leq \sum_{i=1}^ma_if_i(x

总结几个等价无穷小相关的关系运算@(微积分)1）f(x)∼g(x)f(x) \sim g(x), g(x)∼h(x)→f(x)∼h(x)g(x) \sim h(x) \rightarrow f(x)\sim h(x) 2）f′(x)→0,g′(x)→0f'(x)\rightarrow 0,g'(x)\rightarrow 0,则f(x)与g(x)的阶数关系与f′(x)f'(x)和g′(x)g'(x

一点处的导数推导不出邻域的单调性@(微积分)先思考一道题目：（2004）设函数f(x)连续，且f′(x)>0f'(x)>0,则存在δ>0\delta >0,使得：A. f(x)在(0,δ)(0,\delta)内单调增加 B. f(x)在(−δ，0)单调减少(-\delta，0)单调减少 C. 对任意的x∈(0,δ)x\in(0,\delta),有f(x) > f(0) D. 对任意的x∈(−δ

泰勒展开与找第一项系数不为1的解题策略@(微积分)思考一道习题来看这个方法的运用。（13-2）x→0x\rightarrow 0时，1−cosxcos2xcos3x1-cosxcos2xcos3x与axnax^n是等价无穷小。求a,n.分析：可以采用的策略很多，但是最快的是泰勒展开式，这里主要分析这个策略为什么可行。其实一句话就能说明白：低阶吸收高阶。比如xx和x2x^2同时出现，x+x2x+x^2

变上限积分无穷小比阶与导数的关系问题@(微积分)（2004）把x→0+x\rightarrow 0^+时的无穷小α=∫x0cost2dt,β=∫x20tant√dt,γ=∫x√0sint3dtds\alpha = \int_0^x cost^2dt,\beta = \int_0^{x^2}tan\sqrt t dt,\gamma = \int_0^{\sqrt x}sint^3dt d s,

x^(1/x)相关问题极限求解思路看一道问题。（2010，数三）limx→+∞(x1x−1)1lnx\lim_{x\rightarrow +\infty}(x^{\frac{1}{x}}-1)^{\frac{1}{lnx}}分析：这种类型的问题，如果不掌握对待x1xx^{\frac{1}{x}}的求解导数的方法就会陷入很大的麻烦。此外在极限求解中，如果可以化到代入为常数且关系式是相乘且不为0，那么就

连续型切片与离散加减的思路学习@(微积分)思考一道1999年的习题。 设f(x)是区间[0,+∞)[0,+\infty)上单调递减且非负的连续函数。an=∑nk=1f(k)−∫n1f(x)dx,n=1,2,3,...a_n = \sum_{k=1}^nf(k) - \int_1^nf(x)dx, n = 1,2,3,... 证明数列{ana_n}极限存在。分析：任何数列极限，函数极限存在

和函数问题的细节思考@(微积分)回顾一下和函数的问题。http://blog.youkuaiyun.com/u011240016/article/details/53104162?locationNum=1&fps=1再思考下面的几个要点。必先求收敛域，如果是缺项级数，用带x的后项比前项 < 0, 解出x的不等式 及时清理掉首项为0的项,不然拖到后面的等比级数求和就是大大的误差先积后导与先导后积的吸收系数

由两个曲线确定的交线的切向量求解@(微积分)有一个很有启发性的说法：考虑描述曲面的隐函数F(x,y,z)=0.F(x,y,z)=0. 其全微分dF=F′xdx+F′ydy+F′zdz=0dF=F'_xdx+F'_ydy+F'_zdz=0,即(F′x,F′y,F′z)(dx,dy,dz)=0(F'_x,F'_y,F'_z)(dx,dy,dz) = 0其中，(dx,dy,dz)(dx,dy,dz)为该

好用的柯西不等式！

泰勒与极限@(微积分)在极限的求解中，一旦习惯了用泰勒公式+皮亚诺余项的形式来思考，可能慢慢会觉得这才是好方法的感慨吧。比如思考一个很常见的问题：limx→01−cosxcos2xcos3xx2=?\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosxcos2xcos3x}{x^2} = ? 如果熟练知道等价无穷小：1−cosx∼x221-cosx \sim \frac{x^2}{2

关于定义域有界性的三种判断@(微积分)给定一个函数，讨论其在定义域上是否有界，有三种方法。不敢说常见，提出来思考。理论法：若f(x)在定义域[a,b]上连续，或者放宽到常义可积（有限个第一类间断点），则f(x)在[a,b]上必然有界。计算法：切分(a,b)内连续limx→a+f(x)存在\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)存在limx→b−f(x)存在\lim_{x\rig

一个无穷级数展开式@(微积分)诸如∑+∞i=0xi\sum_{i=0}^{+\infty}x^i是非常常见的无穷级数展开式运用。还有变形：∑+∞i=1xi\sum_{i=1}^{+\infty}x^i等等有细微的不同。但根子都在一个展开式上：11−x=1+x+x2+...+xn,x∈(−1,1){1\over 1-x} = 1+x+x^2+...+x^n, x\in (-1,1)所以，直接可以得到的

伽马函数的总结@(概率论)Γ(x)=∫+∞0tx−1e−tdt\Gamma(x) = \int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt性质：Γ(x+1)=xΓ(x)\Gamma(x+1) = x\Gamma(x) Γ(x)>0,任意x∈(0,+∞)\Gamma(x) > 0, 任意x\in(0,+\infty) Γ(1)=1\Gamma(1) = 1 用到概率论中的计算形式是：

几种距离公式的总结思考@(微积分)常用的有：点到平面的距离公式点到直线距离公式异面直线距离公式点到平面的距离公式点(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)到平面Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D = 0的距离。d=|Ax0+By0+Cz0|A2+B2+C2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}

函数展开为幂级数@(微积分)特别需要准备的公式有：ex=1+x+12!x2+13!x3+...+1n!xn,x∈(−∞,+∞)ln(1+x)=x−12x2+13x3−14x2+...+(−1)n−1nxn+...,x∈(−1,1]sinx=x−13!x3+15!x5+...+(−1)n1(2n+1)!x2n+1+...,x∈(−∞,+∞)cosx=1−12!x2+14!x4+...+(−1)n1(2

关于瑕点型反常积分的收敛性判别@(微积分)积分上下限确定的积分，在上下限范围内存在着暇点，此时应该怎么做比较容易分析出积分是否收敛是个很有意思的问题。 不加证明的总结一个有效的解决思路：假设在(a,b)上，f(a)趋向于无穷大。则积分∫baf(x)dx\int_a^bf(x)dx是否收敛。方法是： 判定limx→a+f(x)(x−a)δ是否存在，其中δ∈(0,1)判定\lim_{x\righ

反常积分计算细节@(微积分)反常积分总共就分两类：积分上下限无界积分区域内有暇点针对第二类，有如下的计算技巧。∫baf(x)dx\int_a^bf(x)dx在暇点x=c处，limx→c+|c−f(x)(x−a)δ存在,δ∈(0,1)\lim_{x\rightarrow c^+ | c^-}f(x)(x-a)^\delta 存在, \delta \in (0,1) 则积分收敛。具体为什么，待思

证明不定积分收敛@(微积分)证明：若∫101xpdx\int_0^1\frac{1}{x^p}dx收敛，则p<1分析：p=1时， ∫101xpdx=∫101xdx=lnx|10=0−ln0发散\int_0^1\frac{1}{x^p}dx = \int_0^1\frac{1}{x}dx \\ = lnx|_0^1 = 0-ln0 发散p>1时： ∫101xpdx=x1−p1−p|10\i

正项级数的比较审敛法是较好用的方法。尤其是它的极限形式更为常用。 在一般高数书本上，表述如下： 设limn→+∞unvn=l,l∈[0,+∞]\lim_{n\rightarrow +\infty}{u_n\over v_n} = l, l\in [0,+\infty] 则：若0<l<+∞0 < l < +\infty,∑∞n=1un与∑∞n=1vn\sum_{n=1}^\infty u_n与

缺项级数的收敛域求解@(微积分)举个例子： 幂级数∑∞n=1(−1)nx2n+12n+1\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}的收敛域求解。分析：很容易就想通过求收敛半径，再通过判定边界值是否收敛求出收敛域。但是，这里有个问题，这是缺项级数，因此用于幂级数的柯西-阿达玛公式 ρ=limn→∞|an+1an|\rho = \lim_{n\ri

级数形式套级数的敛散性判断@(微积分)已知级数(1): ∑∞n=1(1−12+13−14+..+(−1)n+1n)\sum_{n=1}^{\infty}(1-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4}+..+\frac{(-1)^{n+1}}{n})级数(2): ∑∞n=1(1+12+13+14+..+1n)\sum_{n=1}^{\infty}(1+\frac{

无穷级数，幂级数展开

奇延拓和偶延拓@(微积分)一般说来，给定[0,l]区间函数表达式，告知展开为余弦级数，则意味着要在[-l,0)上进行偶延拓。如果展开为正弦级数，则意味着在[-l,0)上进行奇延拓。再结合狄利克雷收敛定理可以很快求得在一点处的收敛值。比如： f(x)=x+1,(0≤x≤1)f(x) = x+1, (0\leq x \leq 1),则它以2为周期的余弦级数在x = 0处收敛于 1⎯⎯\underli

傅里叶级数@(微积分)–总结自课本基础知识三角函数与正交性特别注意三角函数系1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,..,cosnx,sinnx,...{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,..,cosnx,sinnx,...}在区间[−π,π][-\pi,\pi]上正交，指的是该函数系中任何两个不用的函数积在[−π,π][-\pi,\pi]上的积分为0.这是一个很奇妙的特性，特

收敛域、收敛区间与收敛半径@(微积分)收敛域：所有收敛点构成的集合。定理：设n充分大，an≠0a_n\neq 0,并设limn→∞|an+1an|=ρ\lim_{n\rightarrow \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \rho收敛半径R=1ρR = \frac{1}{\rho} 因此，ρ=0时，R=+∞\rho = 0时，R = +\inftyρ=+∞时，R=0\r

无穷级数判敛方法使用限制@(微积分)特别看一道题目。下列命题正确的是： A. 若un<vn(n=1,2,3,...)u_n < v_n(n=1,2,3,...)，则∑∞n=1un≤∑∞n=1vn\sum_{n=1}^\infty u_n \leq \sum_{n=1}^\infty v_n分析：看着太想选了，但是这里只是说两个通项的大小比较，如果部分和是无穷大了，就没法比较了！B. 若un<vn(

几个用于更精细判断敛散性的级数@(微积分)∑+∞n=11np,p>1时收敛；p≤1时发散\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^p}, p\gt 1时收敛； p\leq 1时发散∑+∞n=21n(lnn)p,p>1时收敛；p≤1时发散\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n(lnn)^p}, p\gt 1时收敛；p\leq 1时发散∑+∞n=31nlnn(l

柯西积分判别法@(微积分)设函数f(x)在[1,+∞)[1,+\infty)单调下降并且非负，则级数：∑+∞n=1f(n)\sum_{n=1}^{+\infty}f(n)与广义积分∫+∞1f(x)dx\int_1^{+\infty}f(x)dx同收敛或者同发散。证明：如果广义积分收敛，则级数∑+∞n=2(F(n)−F(n−1))\sum_{n=2}^{+\infty}(F(n)-F(n-1))也收敛

导数定义的严格使用@(微积分)根据一点处的导数定义，是函数趋近于这个点时的函数值与这个点的函数值之差与趋近的程度之比。即：f′(x)=limx→af(x)−f(a)x−af'(x) = \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}举个例子。（2013.三）设曲线y=f(x)y = f(x)与y=x2−xy = x^2-x在点(1.0)处有公共切线，则：limn

二维概率密度求解边缘密度@(概率论)已知f(x,y)f(x,y)，求解fX(x),fY(y)f_X(x),f_Y(y)时，用的是下面的公式：fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dyfY(y)=∫+∞−∞f(x,y)dxf_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy \\f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx 从形式

关于斯托克斯公式的思考@(微积分)对于空间闭曲线的积分，我们知道这也是第一型曲线积分，通过斯托克斯公式可以化为二重积分。但是斯托克斯公式总共有两种形式：一中是dydz, dxdz, dxdy型，另一种是cosα,cosβ,cosγcos\alpha,\cos\beta, \cos\gamma型。首先需要看到空间曲线围成的不是曲面，而是一个平面。这是很特殊的。因此，这样的平面如果投影到三个坐标平面去求

微元思想的重要性@(微积分)在微积分这边，我们常常说微元思想是核心，是理解微积分的重要支撑概念。仅仅会用牛顿-莱布尼兹公式解题，会求解二重积分，三重积分或者四类曲线曲面积分，还不算理解了微元。比如举一个例子，如果不能灵活的转换视角，识别微元，就是很难的题目了。设f(x)可导，F(x,y)=12y∫y−yf(x+t)dtF(x,y) = \frac{1}{2y}\int_{-y}^yf(x+t)dt

一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系@(微积分)设p(x),q(x),f(x),f(x)≠0p(x),q(x),f(x),f(x)\neq 0为连续函数，对于下面的二阶线性非齐次方程：y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)y''+p(x)y'+q(x)y = f(x) (1)对应的二阶线性齐次方程：y″+p(x)y′+q(x)y=0y''+p(x)y'+q(x)y = 0 (2)

关于三角函数图像的思考@(微积分)y = sinxy = cosxy = tanx以上三种是作为最基础的进行掌握。由此衍生出的反函数与函数导数，加一点点思考就很容易确定了。y = secx, 即1cosx\frac{1}{cosx}函数的倒数不改变奇偶性质。借助cosx的图像：当cox趋近于0时，secx是无穷大。y = cscx , 即$\frac{1}{sinx}再来思考反函数。其实想通以后，反

罗尔定理常用辅助函数@(微积分)分为两个类型：xnf(x)x^nf(x)型统一为：ϕ(x)=xnf(x)\phi(x) = x^nf(x)ϵf′(ϵ)+f(ϵ)=0,n=1的特例\epsilon f'(\epsilon) + f(\epsilon) = 0, n = 1的特例ϵf′(ϵ)+nf(ϵ)=0\epsilon f'(\epsilon) + nf(\epsilon) = 0ϵf′(ϵ)−f(

由二阶常系数线性方程的通解反推方程@(微积分)引例是这样的： 设cosxcosx与xexxe^x为某n阶常系数线性齐次方程的两个解，则最小的n = ？，相应的首项系数为1的方程是？分析：由cosx是一个解，则必有另一解sinx,±i\pm i是它的特征根；xexxe^x是一个解，则必有另一解exe^x,则1必是二重特征根。所以，n至少为4.特征方程可以列举如下：(r−i)(r+i)(r−1)2