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余子式：直接划掉第i行第j列剩余的元素的行列式的值，简单粗暴。 余子式用Mij表示M_{ij}表示代数余子式：需要考虑到按照余子式这样划掉元素以后，代数符号变动是什么。 代数余子式用Aij表示A_{ij}表示二者之间的表达式互转 Mij=(−1)i+jAijM_{ij} = (-1)^{i+j}A_{ij} Aij=(−1)i+jMijA_{ij} = (-1)^{i+j}M_

在一元函数求积分的部分，常常需要对分母为函数多项式的形式进行求积分。比如对f(x)=1/(x2+3x+2)f(x) = 1/(x^2+3x+2) 进行积分，我们可以将f(x)f(x)因式分解为：f(x)=1/(x+1)(x+2)f(x) = 1/(x+1)(x+2),然后就能拆开成f(x)=1/(x+1)−1/(x+2)f(x) = 1/(x+1) - 1/(x+2),这样就是可积的类型了。问题在于

n维列向量组α1,α2,...,αm,m<n\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_m, m < n线性无关，则n维列向量组β1,β2,...,βm\beta_1,\beta_2,...,\beta_m线性无关的充要条件是（D） A. 向量组α1,α2,...,αm\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_m可由向量组β1,β2,...,βm\beta_1,\

设随机变量X和Y相互独立，X的概率布为P{X=i}=13，(i=−1,0,1)P\{X = i\} = {1\over 3}，(i = -1,0,1),Y的概率密度是 fY(y)=⎧⎩⎨⎪⎪1,0,0≤y<1其他f_Y(y) = \begin{cases}1, & 0 \leq y \lt 1 \\\\0, &其他\end{cases} 记Z = X + Y.1）求P{Z≤12|X=

在数学期望的性质里有一个性质:随机变量X和Y相互独立，有：E(XY) = E(X)E(Y).事实上这里成立的充要条件是X和Y不相关即可。那么问，相互独立与不相关的关系是什么呢？独立性是指两个变量的发生概率一点关系没有，而相关性通常是指线性关系。如果两个变量不相关，指的是线性关系里不相关，但是不能说它们么有关系，可能是线性以外的其他关系。

由通项为In(1+1\n)的级数引申…@(微积分)有一个可以积累的作为常用基础的无穷级数是：∑+∞n=1ln(1+1n)=∑+∞n=1ln((n+1)−Inn)\sum_{n=1}^{+\infty}ln(1+{1\over n}) = \sum_{n=1}^{+\infty}ln((n+1)-Inn) 则：limN→+∞∑Nn=1ln(1+1n)=limN→+∞ln(N+1)=+∞\lim_{N\

关于行向量组线性无关，看一道习题。设A是4x5矩阵，且A的行向量组线性无关，则下列说法错误的是(C)A.ATX=0只有唯一零解A. A^TX = 0只有唯一零解 B.ATAX=0必有无穷多组解B. A^TAX=0必有无穷多组解 C.对任意的b,ATX=b有唯一解C. 对任意的b,A^TX = b有唯一解 D.对任意的b，AX=b有无穷多组解D. 对任意的b，AX=b有无穷多组解分析：A行向量组

设A,B均为n阶矩阵，A可逆且A~B,则下列命题中：ABAB~BABAA2A^2~B2B^2ATA^T ~BTB^TA−1A^{-1}~ B−1B^{-1}全都成立，一一证明。分析：ABAB~BABA, 因为题干说A可逆，是不是提示我们，A可以当作P这种可逆矩阵的角色？ 即：A−1ABA=BAA^{-1}ABA = BA，左右同乘，恰好得证。P−1A2P=P−1APP−1AP=(P−1AP

A是n阶矩阵，求|kA*|的大小。分析： AA∗=|A|E,|AA∗|=|A|n,|A∗|=|A|n−1,|kA∗|=kn|A|n−1AA^* = |A|E,|AA^*| = |A|^n,\\|A^*| = |A|^{n-1},\\|kA^*| = k^n|A|^{n-1}以上是|kA*|的推导，其实就是简单的提出knk^n来，主要工作是对A*求行列式。而(kA)*的行列式，要求就不同了

一般来说，矩阵A两三次幂后就变成0了，这类可以用于(aE−A)n(aE-A)^n,只需要按照二项式展开，计算前几项即可。A=αTαA = \alpha^T\alpha,则可以用：An=αT(ααT)....(ααT)αA^n = \alpha^T(\alpha\alpha^T)....(\alpha\alpha^T)\alpha进行化简，中间是数。另外，可以用矩阵的相似对角阵进行幂次的求解。三

令U=max(X,Y),V=min(X,Y)U = max(X,Y), V = min(X,Y),可以得到： UV=XY;U+V=X+Y;U−V=|X−Y|;UV = XY; \\U+V = X+Y; \\U - V = |X-Y|; 这三个是很容易想到的。由此可以得到U和V的表达式：U=(X+Y+|X−Y|)2U ={ (X+Y+|X-Y|) \over 2 } V=(X+Y−|X−Y

回归到秩的本质：组成矩阵的线性无关的向量个数。AmxnA_{mxn}本身1）0≤r(A)≤min{m,n}0 \leq r(A) \leq min\{m,n\} m决定了阶梯向下的数目，n决定了向右的数目，较小的值决定了总数目的最大值。2）r(kA)=r(A)r(kA) = r(A) 倍乘不改变秩的大小3）r(A)=r(AT)=r(AAT)=r(ATA)r(A) = r(A^T) = r

已知α1,α2,α3,\alpha1,\alpha2,\alpha3,是三维非零列向量，考察下面的结论：1）如果α4\alpha4不能由α1,α2,α3\alpha1,\alpha2,\alpha3线性表出，则α1,α2,α3\alpha1,\alpha2,\alpha3线性相关。 分析: 三个维度，4个向量。如果α1,α2,α3\alpha1,\alpha2,\alpha3线性无关，则α1,α

柯西积分判别法@(微积分)设函数f(x)在[1,+∞)[1,+\infty)单调下降并且非负，则级数：∑+∞n=1f(n)\sum_{n=1}^{+\infty}f(n)与广义积分∫+∞1f(x)dx\int_1^{+\infty}f(x)dx同收敛或者同发散。证明：如果广义积分收敛，则级数∑+∞n=2(F(n)−F(n−1))\sum_{n=2}^{+\infty}(F(n)-F(n-1))也收敛

几个用于更精细判断敛散性的级数@(微积分)∑+∞n=11np,p>1时收敛；p≤1时发散\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^p}, p\gt 1时收敛； p\leq 1时发散∑+∞n=21n(lnn)p,p>1时收敛；p≤1时发散\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n(lnn)^p}, p\gt 1时收敛；p\leq 1时发散∑+∞n=31nlnn(l

边缘密度求解的细节@(概率论)根据定义，已知二维联合分布概率是f(x,y)f(x,y),则：fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dyf_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dyfY(y)=∫+∞−∞f(x,y)dxf_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx根据这个定义，很容易可以求解出边缘密度，但是有一个点需要特别指出，如下

已知相关系数求解联合分布律@(概率论)设随机变量X与Y的分布律是： X 0 1 P 14\frac{1}{4} 34\frac{3}{4} Y 0 1 P 12\frac{1}{2} 12\frac{1}{2}且相关系数是ρxy=3√3\rho_{xy} = \frac{\sqrt 3}{3}则(X,Y)的分布律是？分析：这是可枚举的类型，也即直接列出：

线性表出、线性相关的定理总结思考1.n维向量组α1,α2,α3,...,αs\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_s线性相关， ⟺\Longleftrightarrow齐次方程组 (α1,α2,α3,...,αs)⋅⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢x1x2...xs⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=0(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_s)\

有关秩的定理总结如果向量组（I）α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s可以由（II）β1,β2,...,βt\beta_1,\beta_2,...,\beta_t线性表出，则r(II)≥r(I)r(II) \geq r(I) 解释为：能表出其他向量组，则其他向量组必然在自己的范围内，如果II的秩没有I大，则撑不起I张起的空间。这是很酷的一个定理。r

由一道题目看抽象向量组的线性相关问题

线性相关和线性无关证明方法常用方法

运用提示原则证明线性无关 A是n阶矩阵，α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3是n维向量。且α1≠0,Aα1=kα1,Aα2=lα1+kα2,Aα3=lα2+kα3,l≠0\alpha_1\neq 0,A\alpha_1 = k\alpha_1,A\alpha_2 = l\alpha_1+k\alpha_2, A\alpha_3 = l\alpha_2+k\alph

无穷级数判敛方法使用限制@(微积分)特别看一道题目。下列命题正确的是： A. 若un<vn(n=1,2,3,...)u_n < v_n(n=1,2,3,...)，则∑∞n=1un≤∑∞n=1vn\sum_{n=1}^\infty u_n \leq \sum_{n=1}^\infty v_n分析：看着太想选了，但是这里只是说两个通项的大小比较，如果部分和是无穷大了，就没法比较了！B. 若un<vn(

置信区间的总结@(概率论)置信区间的定义：设θ\theta是总体X的未知参数，X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n是来自总体的样本，对于给定的α,(0<α<1),\alpha,(0 < \alpha < 1),如果两个统计量满足：P(θ1<θ<θ2)=1−αP(\theta_1 < \theta < \theta_2) = 1 - \alpha, 则称随机区间(θ1,θ2)(\th

关于转置的公式常用的有： (AB)T=BTAT,(AT)T=A,(kA)T=kAT(AB)^T = B^TA^T, \\(A^T)^T = A, \\(kA)^T = kA^T有一个非常不同于逆与伴随的是： (AT+BT)=AT+BT(A^T+B^T) = A^T+B^T由此引申出来的有： (A−E)T=AT−ET(A-E)^T = A^T - E^T看一个例子： 设A是奇数阶矩阵，

前面专门讨论过秩为1的矩阵，由Ax=0Ax = 0有n-1个线性无关向量，联想到：Aα=0⋅αA\alpha = 0\cdot \alpha,知道0必是A的特征值，且是n-1重特征值。这样的性质如果单独考察，就过于简单了。在另一篇文章中总结过秩为1的矩阵求幂的思路。http://blog.youkuaiyun.com/u011240016/article/details/52805663这个做法也是通用的，即：

两个底圆半径是R的圆柱体相交形成的重合部分。先看三幅图这样的图片将完全打消之前的许多疑虑。常数性计算公式 先上常数性的结论，再讨论积分性质的计算。 + 公共部分体积：(16/3)R^3 + 公共部分面积：16R^2终于明白面积计算为何是拆成16部分。面积计算积分推导绿色部分的圆柱体在空间直角坐标系中：x2+z2=R2x^2+z^2 = R^2黄色部分是：x2+y2=R2x^2+

收敛域、收敛区间与收敛半径@(微积分)收敛域：所有收敛点构成的集合。定理：设n充分大，an≠0a_n\neq 0,并设limn→∞|an+1an|=ρ\lim_{n\rightarrow \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \rho收敛半径R=1ρR = \frac{1}{\rho} 因此，ρ=0时，R=+∞\rho = 0时，R = +\inftyρ=+∞时，R=0\r

非齐次方程组的解 设非齐次方程组AmxnX=bA_{mxn}X = b，则： A. 当r(A) = m时，方程组有解 B. 当r(A) = n 时，方程组有唯一解 C. 当m = n时，方程组有唯一解 D. 当r(A) = r < n时，方程有无穷多组解分析：本题主要想强调一个结论：原来无关，变高（维度扩大）无关。这个结论有个兄弟：原来相关，变胖（数目变多）相关。 向

袋中有5只白球，6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色。求这颜色是黑色的概率。分析：取出3个球看到是同一颜色，这个是事实了，一定发生了，因此，我们常说条件不是概率，或者说具体到这个事件一定发生了。但是在总体看来，发生这个条件本身有概率。即：我们设都是同一颜色的事件是A,颜色是黑色的事件是B。B是在已经知道颜色是同一颜色的条件下的事件。P(AB)=(63)(113)=433P(AB) =

易被忽视的贝叶斯概率@(概率论)全概率是对事件进行划分，求的是总概率。贝叶斯是已知某事件发生，求是其中一件的概率。在前面我们列举过一个例子，讲村庄被偷的概率就是全概率，已知被偷，那么计算是哪个小偷偷的概率就是贝叶斯公式。本质都是对事件划分+条件概率计算。再举一个例子： 设有甲乙两名射击运动员。甲的命中率是0.6，乙的命中率是0.5，求下面事件的概率。 1）从甲乙中任选一人去射击，若目标被命

总的看来，无论是第一型曲线，曲面积分，还是第二型曲线，曲面积分，都是积分的场景应用。底子是在积分的计算上。但是，如果仅仅积分的功底好，也不一定能Hold住这四类积分的计算。 这也是这四类积分计算令人着迷的地方。第一型曲面积分的概念先看长什么样子，再看具体求解思路。 不知道你有没有注意到，曲面积分是在三维坐标系下面的，为什么呢？哈啊，在平面坐标系下，所有的面都被压平了啊。你看，这个说法本身就值得研

对于这个不部分的理解总是有一些不确定，所以运用起来除了记公式，套模型，几乎不能够引申理解。看了一遍最基本的定义，发现非常的简洁易懂。摘录+理解如下。在概率论章节，我们对一个变量的分布模型是已经知道的，带着这个模型再去研究或者说计算相应的性质，数字特征等。但是在数理统计这部分，事情的切入角度是不一样的：研究的随机变量分布是不知道的，但是我们常常需要通过一些手段来推断这个随机变量的分布。这个手段是：多次

在二维的闭曲线的积分求解中，我们有格林公式来帮忙。而在三维中的曲线积分则由斯托克斯来解决。一个三维函数沿一个三维面边界的线积分等于这个函数旋度在面上的面积分。直观的用行列式记忆。因为 dS⋅cosα=dydz{\rm d}S \cdot \cos\alpha= {\rm d}y{\rm d}z dS⋅cosβ=dxdz{\rm d}S \cdot \cos\beta= {\rm d}x{\rm

占位，晚间来写。

概念拆分研究 这一类的题目被积函数一般是二元函数，但实际上呢，因为是线性积分，所以被积函数的取值被夹在线上，因此，积分的区域–曲线的表达式可以带入被积函数。 这是我在学习这部分知识的时候对于可以带入的理解。 因此，一个看似二元的积分变成了伪二元，真一元。但这并不是说问题就化简到了和求解一元积分一样的复杂度了，不然就不是第一型曲线积分了对吧！坐标中一个弯弯曲曲的曲线，和平常一元积分笔

提到三重积分，伴随着的常常是这两种积分的策略。你看因为是三重，所以可以拆分成不均匀的两部分，二重积分里怎么拆都是先一后一对吧~本篇文章的起因是我自以为这两个概念分的蛮清晰了，但是今天却把先一后二与截面法联系在一起了，吓得我赶紧复习这部分的知识点，温故知新。还想再从宏观的角度，总结一次积分到三重积分之间的微元的联系，我私以为躺着想问题更集中精力，然后躺着睡着了。OK,这里不准备从0开始说起先一后二和先

首先可以记忆的一些宏观印象是：梯度（grad），旋度(rot)都是向量，散度(div)是一个值或者表达式。令u=u(x,y,z)u = u(x,y,z) 则： 梯度：grad(u)=(u′(x),u′(y),u′(z))grad(u) = (u'(x),u'(y), u'(z)) ==>即偏导数构成的向量，可以代入具体值。grad操作的对象是函数。散度:div(p(x,y,z),q(x,y,z)

关于sinX与y的大小比较取值范围计算@(概率论)在求分布函数的时候，常常有已知XX的分布函数求Y=g(X)Y=g(X)的分布函数类型。往往不小心就会计算出错误的范围，从而导致分布函数求错。比如：X∈[0,π]X \in [0,\pi]则sinX≤ysinX \leq y的范围是什么？注意，在概率论中常常用大写字母表示变量，小写字母表示取值。有两个角度的思考，根据sinXsinX的图像推导：可知两个

一道线代题目的总结线性方程组：α1x1+α2x2+α3x3+α4x4=β\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\alpha_3x_3+\alpha_4x_4 = \beta其中，αi,i=1,2,3,4,β\alpha_i,i = 1,2,3,4, \beta 均是四维列向量，有通解：k[−2,3,1,0]T+[4,−1,0,3]Tk[-2,3,1,0]^T + [4,-1,0,3]^T