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n维列向量组α1,α2,...,αm,m<n\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_m, m < n线性无关，则n维列向量组β1,β2,...,βm\beta_1,\beta_2,...,\beta_m线性无关的充要条件是（D） A. 向量组α1,α2,...,αm\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_m可由向量组β1,β2,...,βm\beta_1,\

r(A)=1的矩阵，天生有当特征值为0时的n-1个线性无关的特征向量。方程组：Ax = 0,根据系数矩阵的秩为1，因此解向量有n-1个线性无关向量。 也即矩阵A有n-1重特征值λ=0\lambda = 0 再由∑ni=1λi=∑ni=1aii\sum_{i=1}^n\lambda_i = \sum_{i=1}^na_{ii} 可以求得λn\lambda_n,这个需要具体问题具体分析。

总结利用秩为1的矩阵相关矩阵的秩的计算问题@(线性代数)对于一个秩为1的矩阵，常常给定的是一个列向量与自己的转置之积。http://blog.youkuaiyun.com/u011240016/article/details/52805663http://blog.youkuaiyun.com/u011240016/article/details/52869027回顾前面两篇关于秩为1的矩阵的基础推导。再来看一道习题的运用

AB=0与伴随矩阵相互作用型题@(线性代数)关于AB=0,要直奔两个角度分析问题：矩阵B的列向量是其次方程Ax = 0的解秩r(A)+r(B)≤nr(A)+r(B)\leq n,n是A的列数，也是B的行数此外这类常常会联系到秩为1的矩阵的特征值的应用。http://blog.youkuaiyun.com/u011240016/article/details/52869027?locationNum=2&f

AX=B型方程思考@(线性代数)关于这种右边不是一个向量型的问题，解法是一样的，本质是，如果A可逆，那么X=BA−1X = BA^{-1}这里的X不是Ax=bAx = b中的小号x，X或者x是与B或者b对应的。用增广矩阵的原因是：[A|B]→[E|BA−1][A|B] \rightarrow [E|BA^{-1}]即使是A不可逆，也可以借助于增广矩阵的方法简化问题。具体会在2016年的一道问题中详细

AB=C型向量分解思路思考@(线性代数)关于这种矩阵的方程，多数情况下，都要奔着列分块的方向去，有些情况下要进行视角翻转，用行分块来思考。而一般情况下，在右边的矩阵要被完全打开供大家研究，两边只要列分块即可。因为一旦用到向量，最强大的，最基础的武器，思考方式是考察向量组是否可以线性表出，是否线性相关。整门学科的名字叫线性代数，可见线性标出的地位。而本身这个知识点是不难理解的，只是大多数时候，我们会觉

A^T相关的计算@(线性代数)普通的(A+B)−1≠A−1+B−1(A+B)^{-1} \neq A^{-1}+B^{-1}但是在转置中，(A±B)T=AT±BT(A\pm B)^T = A^T\pm B^T而且这在与转置相关的行列式等计算中，是非常关键的步骤。例如：（1995）设A是n阶矩阵，满足AAT=E,|A|<0AA^T = E,|A| < 0,求|A+E|分析：题干中待解的问题过去简洁时要

线代中最基础的两种玩法@(线性代数)加法乘法由这两种最基础的做法可以发展出许多有意思的解题思路。以可交换矩阵的论证为例。 可交换矩阵：AB=BA一般有三类：单位矩阵，或零矩阵 AE = BEA0 = B0同阶对角矩阵可逆矩阵，伴随矩阵 AB = BA = EAA* = A*A = |A|E值得说明的是，可逆矩阵是互为可逆的才可以交换，不是任意一个同阶的可逆矩阵乘别人就是可

由A* = A^T推导问题@(线性代数)矩阵A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢a11a21.an1a12a22.an2..........a1na2n.ann⎤⎦⎥⎥⎥⎥A = {\left[\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} &...& a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &...& a_{2n} \\.&.& .&.\\a_{n1} & a_{n2} &.

理解清楚Ei(k),Eij,Eij(k)E_i(k), E_{ij}, E_{ij}(k)的含义。Ei(k)E_i(k)：单位矩阵的第i行或者第i列乘以k倍得到的矩阵。 EijE_{ij}：单位矩阵第i行和第j行交换或者第i列和第j列交换得到的矩阵。 Eij(k)E_{ij}(k)：单位矩阵的第j行乘以k倍加到第i行，即被操作的行在前；那么也可以理解为第i列乘以k倍加到第j列。再注意常用的三个求

矩阵的初等变换的应用@(线性代数)这篇文章中介绍了矩阵的初等变换的用法。http://blog.youkuaiyun.com/u011240016/article/details/52803938?locationNum=1&fps=1没有强调的是，左乘是行变换，右乘是列变换。三种形式六种情况：Ei(k)E_i(k)：单位矩阵的第i行或者第i列乘以k倍得到的矩阵。 EijE_{ij}：单位矩阵第i行和第j行交

设A是n阶矩阵，且满足A2=AA^2 = A 1）求A的特征值的取值范围。 2）证明E+A是可逆矩阵。首先先垫基，如果已知矩阵A的λ,α\lambda, \alpha则与A有关矩阵的特征值特征向量可以有下面的总结： kA⟹kλ,αkA \Longrightarrow k\lambda, \alpha Ak⟹λk,αA^k \Longrightarrow \lambda^k, \alpha

伴随矩阵，可逆矩阵相关思路分析之一@(线性代数)定义法–大巧若拙 设矩阵A满足A2+A−4E=0A^2+A-4E = 0,其中E是单位矩阵，则(A+E)−1=?(A+E)^{-1} = ?分析：这种抽象矩阵的逆矩阵的求法只能用定义式了，但是怎么拆出需要的定义式呢？分享一种绝对适用的解法。如果我说，一眼看出来(A−E)(A+2E)=2E(A-E)(A+2E) = 2E,等同于说素描肖像，第一步起

将混迹于简书一段时间，如果有觉得可以拿过来分享的文章，也会不定期分享到这里来。嗯，就这些。2017.1.2

向量组的维数：这组向量的最大线性无关组的个数。矩阵的维数：矩阵的秩。向量的维数：分量的个数。在三维空间中，给两个分量个数为3的向量，构成向量组，这个向量组张开的维度是二维，而不是三维，因为至少三个线性无关向量才能穷举三维中的所有向量。因此，类比到基础解系中来，基础解系构成的解空间的维数是基础解系的个数，即n−r(A)n - r(A)，而不是想当然的认为是nn。

过度矩阵与坐标变换

这是很有趣的一道推断题，结合考察很多有趣的结论。首先我们需要明确，ATbA^Tb是一个向量，因此，待证的结论本质是：非齐次方程组有解。因此，问题化为求证：r(ATA)=r(ATA|ATb)r(A^TA) = r(A^TA|A^Tb)那么如何思考求证这个命题呢？我们想，如果ATbA^Tb可以是由ATA^T的列向量表示，那么问题是否可以简单化？因为我们特别证过：ATA,A是等秩的。A^TA,A是等秩的。

关于行向量组线性无关，看一道习题。设A是4x5矩阵，且A的行向量组线性无关，则下列说法错误的是(C)A.ATX=0只有唯一零解A. A^TX = 0只有唯一零解 B.ATAX=0必有无穷多组解B. A^TAX=0必有无穷多组解 C.对任意的b,ATX=b有唯一解C. 对任意的b,A^TX = b有唯一解 D.对任意的b，AX=b有无穷多组解D. 对任意的b，AX=b有无穷多组解分析：A行向量组

设A,B均为n阶矩阵，A可逆且A~B,则下列命题中：ABAB~BABAA2A^2~B2B^2ATA^T ~BTB^TA−1A^{-1}~ B−1B^{-1}全都成立，一一证明。分析：ABAB~BABA, 因为题干说A可逆，是不是提示我们，A可以当作P这种可逆矩阵的角色？ 即：A−1ABA=BAA^{-1}ABA = BA，左右同乘，恰好得证。P−1A2P=P−1APP−1AP=(P−1AP

A是n阶矩阵，求|kA*|的大小。分析： AA∗=|A|E,|AA∗|=|A|n,|A∗|=|A|n−1,|kA∗|=kn|A|n−1AA^* = |A|E,|AA^*| = |A|^n,\\|A^*| = |A|^{n-1},\\|kA^*| = k^n|A|^{n-1}以上是|kA*|的推导，其实就是简单的提出knk^n来，主要工作是对A*求行列式。而(kA)*的行列式，要求就不同了

一般来说，矩阵A两三次幂后就变成0了，这类可以用于(aE−A)n(aE-A)^n,只需要按照二项式展开，计算前几项即可。A=αTαA = \alpha^T\alpha,则可以用：An=αT(ααT)....(ααT)αA^n = \alpha^T(\alpha\alpha^T)....(\alpha\alpha^T)\alpha进行化简，中间是数。另外，可以用矩阵的相似对角阵进行幂次的求解。三

关于转置的公式常用的有： (AB)T=BTAT,(AT)T=A,(kA)T=kAT(AB)^T = B^TA^T, \\(A^T)^T = A, \\(kA)^T = kA^T有一个非常不同于逆与伴随的是： (AT+BT)=AT+BT(A^T+B^T) = A^T+B^T由此引申出来的有： (A−E)T=AT−ET(A-E)^T = A^T - E^T看一个例子： 设A是奇数阶矩阵，

前面专门讨论过秩为1的矩阵，由Ax=0Ax = 0有n-1个线性无关向量，联想到：Aα=0⋅αA\alpha = 0\cdot \alpha,知道0必是A的特征值，且是n-1重特征值。这样的性质如果单独考察，就过于简单了。在另一篇文章中总结过秩为1的矩阵求幂的思路。http://blog.youkuaiyun.com/u011240016/article/details/52805663这个做法也是通用的，即：

关于sinX与y的大小比较取值范围计算@(概率论)在求分布函数的时候，常常有已知XX的分布函数求Y=g(X)Y=g(X)的分布函数类型。往往不小心就会计算出错误的范围，从而导致分布函数求错。比如：X∈[0,π]X \in [0,\pi]则sinX≤ysinX \leq y的范围是什么？注意，在概率论中常常用大写字母表示变量，小写字母表示取值。有两个角度的思考，根据sinXsinX的图像推导：可知两个

an−bna^n - b^n添项法： an−bn=an−an−1b+an−1b−an−2b2−...−bn=an−1(a−b)+an−2b(a−b)+...+bn−1(a−b)=(a−b)(an−1+an−1b+...+abn−2+bn−1)a^n - b^n = a^n - a^{n-1}b + a^{n-1}b - a^{n-2}b^2 - ... -b^n \\= a^{n-1}(a-

一道抽象向量组习题设A是mxn矩阵，m < n，且A的行向量组线性无关，B是nx(n-m)矩阵。B的列向量组线性无关，且AB=O的解，已知η\eta是齐次方程组AX=0的解，证明：By=ηBy=\eta有唯一解。这一个小题运用了很多好玩的知识点。AB=0（参考 http://blog.youkuaiyun.com/u011240016/article/details/52851453）r(Amxn)≤min

一个很有趣的知识点。 AB=O时：将B进行列分块，B=(β1,β2,…,βn) AB=A (β1,β2,…,βn)=(O,O,O,O,…,O) 从而，Aβi=O, i=1,2,…,n 即βi是方程组Ax=0的解 则，向量组β1,β2,…,βn可由Ax=0的基础解系线性表出。所以r( (β1,β2,…,βn))≤n-r(A) 即：基础解系的向量个数大于等于βi的总个数。 即：r(A)+r

特征值和特征向量的意义@(线性代数)线性变换与矩阵的特征向量特征值线性变换是指一个n维列向量被左乘一个n阶矩阵后得到另一个n维列向量，它是同维向量空间中的把一个向量线性映射成了另一个向量。即 y=Ax(y，x∈Rn,A=(aij)nxn)y=Ax(y，x ∈R^n, A=(a_{ij})_{nxn})。 如果对于数λ\lambda，存在一个n维零列向量x(即x∈Rn且x≠0)x(即x∈R^n且x

给定一个线性方程组，不管是齐次还是非齐次，都有标准的算法：化为阶梯型，然后找基础解系求解。但是通常会将一个未知量放在系数矩阵偏左的位置，让你变化时非常难受，因此，将变量换位是这一类比较有效的解决技巧，计算量将大大降低，且非常顺手。问：当λ\lambda何值时，方程组无解，有唯一解，或无穷多解？⎧⎩⎨⎪⎪2x1+λx2−x3=1,λx1−x2+x3=2,4x1+5x2−5x3=−1\begin{ca

首先需要明确，这个证明的切入点是：方程组的解相同。1）证明r(ATA)≤r(A)r(A^TA) \leq r(A)当AX=0时，ATAX=0AX = 0时，A^TAX = 0必然成立，即：ATAX=0A^TAX = 0的解，包含了AX=0AX = 0的解，就说明了ATAX=0A^TAX = 0的基础解系包含AX=0AX = 0的基础解系。因此：n−r(ATA)≥n−r(A)n-r(A^TA) \ge

首先看规律：矩阵A的任何两行或者两列都成比例，可以提出比例系数，则矩阵A可以分解为两个矩阵的乘积。更一般情况是：若r(A) = 1,则A可以分解为两个矩阵的乘积。规律知道以后，具体的乘积因子该如何确定呢？看例题：A=⎡⎣⎢⎢26−413−2−1−32⎤⎦⎥⎥ A = {\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\ 6 & 3 & -3 \\ -4 & -2