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一个无穷级数展开式@(微积分)诸如∑+∞i=0xi\sum_{i=0}^{+\infty}x^i是非常常见的无穷级数展开式运用。还有变形：∑+∞i=1xi\sum_{i=1}^{+\infty}x^i等等有细微的不同。但根子都在一个展开式上：11−x=1+x+x2+...+xn,x∈(−1,1){1\over 1-x} = 1+x+x^2+...+x^n, x\in (-1,1)所以，直接可以得到的

样本均值的特征与分布@(概率论)这个分布的推导将需要回到大数定律与中心极限定理中去才能证明。需要严格区分样本均值与一次取样的分布。X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n是取自总体的样本，则E(Xi)=u,D(Xi)=σ2E(X_i) = u,D(X_i) = \sigma^2E(X⎯⎯⎯)=u,D(X⎯⎯⎯)=σ2nE(\overline X) = u, D(\overline X)

二维联合分布(X,Y)求(U,V)@(概率论)问：从F(x,y)是否可以求得f(x,y)? 是不是只有相互独立时，由f(x,y)=fX(x)fY(y)f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)得到。其中,fX(x)=FX′(x)f_X(x) = F_X\prime(x),而FX′(x)=limy→∞F(x,y)F_X\prime(x) = \lim_{y\rightarrow \infty}F(x,

二项分布的期望方差证明

总结一道概率放缩题@(概率论)有时候给定的是一个与常用的概率表达形式不同的不等式需要你判定，这个时候，创造性的使用放缩将是很好的方法。但是，如何让两个看似无关的表达式有联系，除了特别难的需要拍脑袋外，大部分都是有迹可循，且是被暗示的。比如：设X是连续型变量，方差存在，则对任意的常数C和ϵ>0\epsilon > 0,必有P(|X−C|≥ϵ)≤E|X−C|ϵP(|X-C| \geq \epsilon

一阶矩+二阶矩估计求解一个参数@(概率论)一般来说，一个参数对应一个方程。所以在矩估计法中，用一阶矩就可以求解一元。但是有些情况下，只写一阶矩，原理上是可以求得解的，但是，初等代数中很难剥离出来，可以考虑再求一次二阶矩，即，再利用样本提供一组值，二者相互作用，可以求解出p.值得注意的是，二者求得的实际解并不是完全一致，因为又一次用了矩估计，所以等于两次估计求解一元。这是可以接受的，因为如果是二元，我

应用题分析思路–关注点分离@(概率论)在求解应用型概率题时，常常会因为模型尚未建立，关注点放在了概率求解上，二者交织在一起就很难厘清问题，因此拿出来强调一下。 一商店经销某种商品，每周进货量X与顾客对该种商品的需求量是相互独立的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布。商店每售出一单位上篇获利1000元；若需求超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利500元。试计算此商

二维随机变量期望的计算@(概率论)设随机向量(X,Y)的概率密度f(x,y)满足f(x,y) = f(-x,y),且ρxy\rho_{xy}存在，则ρxy=?\rho_{xy} = ?分析：主要从EXY, EX,EY的关系求解。 因为根据定义：ρxy=cov(X,Y)DX√DX√\rho_{xy} = {cov(X,Y)\over \sqrt {DX}\sqrt{DX}}而cov(X,Y)=E(X

再次思考矩估计与似然估计的原理@(概率论)首先需要特别强调，矩估计和似然估计都是点估计的具体策略。而点估计强调的是由样本构建一个统计量作为未知参数的估计量。代入具体的观察值就是估计值。而通常采用的两种方法是：矩估计法似然估计法矩估计法的核心是： 对于总体X， EXl=∫+∞−∞xlf(x;θ1,θ2,...,θk)或者离散型：EXl=∑ixliP(X=xi;θ1,θ2,...,θk)EX

多元最大似然估计函数@(概率论)最大似然函数用于估计一个未知参数的场景居多，但实际上也可以用于多个未知参数的估计。δδθiL=0{\delta \over \delta\theta_i} L = 0或者令：δδθilnL=0{\delta\over \delta\theta_i} ln L = 0举个例子联系一下：设X∼N(μ,σ2),μ,σ2X\sim N(\mu,\sigma^2),

max与min函数的概率分布思考@(概率论)给定一样本序列则： max(X1,X2,...,Xn)≤a⟺X1≤a,X2≤a,...,Xn≤amax(X_1,X_2,...,X_n) \leq a \Longleftrightarrow X_1\leq a, X_2\leq a,...,X_n \leq amin(X1,X2,...,Xn)≥a⟺X1≥a,X2≥a,...,Xn≥amin(X_1,X

利用级数求和推导泊松分布的期望方差@(概率论)闲来无事，动手推导一个常见的泊松分布的表达式。回顾泊松分布：设变量X服从λ\lambda的泊松分布，则：P(X=k)=λkk!e−λ,k=0,1,2,....P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,....泊松分布的表达式非常优美，但是需要强调的是k是从0开始的离散数字。这在级数中，相当重要

正态分布下含绝对值的期望求解@(概率论)首先用伽马函数来证明一个小结论。设X∼N(0,1),求E|X|X\sim N(0,1),求E|X|分析：我们知道EX=0，那是因为根据表达式： f(x)=12π√σe−(x−μ)22σ2=12π√e−x22f(x) = \frac{1}{\sqrt {2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} = \frac{1

伽马函数的总结@(概率论)Γ(x)=∫+∞0tx−1e−tdt\Gamma(x) = \int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt性质：Γ(x+1)=xΓ(x)\Gamma(x+1) = x\Gamma(x) Γ(x)>0,任意x∈(0,+∞)\Gamma(x) > 0, 任意x\in(0,+\infty) Γ(1)=1\Gamma(1) = 1 用到概率论中的计算形式是：

思考伯努利试验的两种组合思想@(概率论)伯努利试验(Bernoulli experiment)的定义先从最基本的定义开始思考： 伯努利试验(Bernoulli experiment)：是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验。其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。然后我们假设该项试验独立重复地进行了n次，那么我们就称这一系列重复独立的随机试验为n重伯努利试验，或称为伯努利

思考一类概率类问题@(概率论)大部分概率的问题都是借助分布函数来进行求解，有一类问题是结合离散与连续，形成的问题不是标准化的结构，需要从分布函数的定义来思考。这样做，其实很巧妙。如果对概率论的基本知识掌握没到深度理解，找不到可代入的公式，这种题目就是难题。如果对概率论的基础有非常深入的思考，这样的问题就是简单题。这种题目才是真正的好问题。以一个习题为例。（2013.22）设随机变量X的概率密度为：f

条件概率首先，理解这两个公式的前提是理解条件概率，因此先复习条件概率。P(A|B)=P(AB)P(B)P(A|B) ={ P(AB)\over P(B)}理解这个可以从两个角度来看。 第一个角度：在B发生的基础上，A发生的概率。那么B发生这件事已经是个基础的条件了，现在进入B已经发生的世界，看看A发生的概率是多少。那么分子就是B发生A也发生，分母就是B这个世界发生的概率了。分母如果是1，那么成了什

一道有意思的概率应用题@(概率论)在长为L的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差。分析：这其实是具体化的均匀分布。即在线段上任取点，取的任何一点X的概率是：fX(x)=1Lf_X(x) = \frac{1}{L}再任取另外一点Y,X和Y相互独立且同分布。f(x,y)=fX(x)fY(y)=1L2f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) = \frac{1}{L^2}由此，我们再考虑以L的左端点为

再次思考Z = X+Y,Z = XY的概率密度求解@(概率论) 设方程x2−Xx+Y=0x^2-Xx+Y = 0的根相互独立，且都在(0,2)上服从均匀分布，分别求X与Y的概率密度。分析：在前面一篇特别总结过这类题型的解法。http://blog.youkuaiyun.com/u011240016/article/details/53097048但是这里的题目提示我要注意变量取值的真正范围的求解，本题的范

事件相互独立的几种不同说法@(概率论)事件A和B独立有下面的等价条件，因为独立是概率性质，所以很多有趣的变形。P(AB)=P(A)P(B)P(AB) = P(A)P(B)P(A|B)=P(A|B⎯⎯⎯),0<P(B)<1P(A|B) = P(A|\overline B), 0 < P(B) < 1AA与B⎯⎯⎯\overline B独立或者A⎯⎯⎯与B⎯⎯⎯\overline A与\overl

区分事件的独立性与互不相容性@(概率论)事件的独立性事件A,B独立是指两个事件之间的概率满足等式：P(AB)=P(A)P(B)P(AB) = P(A)P(B)事件的互不相容性事件A,B互不相容指的是两个事件之间满足：AB=空集AB = 空集所以两个概念定义上就差别很大很大。独立性是概率性质，互不相容性是事件的关系运算上。此外需要牢记的是，概率推导不出事件的性质。互不相容推导不出独立，独立也推导不出互

拆散组合思路求解期望，方差@(概率论) 对三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别是p1,p2,p3p_1,p_2,p_3，求产生故障仪器的台数X的数学期望和方差。分析：如果按照标准计算的方法，求出P(X = k)再根据EX=∑3k=0kP(X=k)EX = \sum_{k=0}^3kP(X=k) 求得的结果将是很难化简的。当然也不是不可解。我们尝试一下：P(X=0)=(1−p1)(1−

离散型最值的期望计算@(概率论)不同于连续型，可以将问题归结为E|X-Y|的计算。离散型的期望值计算可以通过离散的划分来求解。比如： 设X,Y相互独立同分布，均服从几何分布P(X=k)=qk−1p,k=1,2,...,P(X=k) = q^{k-1}p,k = 1,2,...,求E(max(X,Y))分析：这一类可以通过对变量取值划分求解。max的含义是，元素的取值上界。因此：P(max(X,

连续与离散变量的函数分布计算@(概率论)在二维函数分布的计算中，有一类是比较特别的，即两个变量类型分别是连续和离散的。那么对此函数的概率分布计算就需要适当展开，引入全概率计算方法。比如这样一道题： 设随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,1),Y~B(n,p)(0FZ(z)=P(X+Y≤z)=∑i=0nP(Y=i)P(X+Y≤z|Y=i)=(ni)ni=0pi(1−p)n−iP(X+Y≤z|Y=i

关于sinX与y的大小比较取值范围计算@(概率论)在求分布函数的时候，常常有已知XX的分布函数求Y=g(X)Y=g(X)的分布函数类型。往往不小心就会计算出错误的范围，从而导致分布函数求错。比如：X∈[0,π]X \in [0,\pi]则sinX≤ysinX \leq y的范围是什么？注意，在概率论中常常用大写字母表示变量，小写字母表示取值。有两个角度的思考，根据sinXsinX的图像推导：可知两个

对于这个不部分的理解总是有一些不确定，所以运用起来除了记公式，套模型，几乎不能够引申理解。看了一遍最基本的定义，发现非常的简洁易懂。摘录+理解如下。在概率论章节，我们对一个变量的分布模型是已经知道的，带着这个模型再去研究或者说计算相应的性质，数字特征等。但是在数理统计这部分，事情的切入角度是不一样的：研究的随机变量分布是不知道的，但是我们常常需要通过一些手段来推断这个随机变量的分布。这个手段是：多次

易被忽视的贝叶斯概率@(概率论)全概率是对事件进行划分，求的是总概率。贝叶斯是已知某事件发生，求是其中一件的概率。在前面我们列举过一个例子，讲村庄被偷的概率就是全概率，已知被偷，那么计算是哪个小偷偷的概率就是贝叶斯公式。本质都是对事件划分+条件概率计算。再举一个例子： 设有甲乙两名射击运动员。甲的命中率是0.6，乙的命中率是0.5，求下面事件的概率。 1）从甲乙中任选一人去射击，若目标被命

袋中有5只白球，6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色。求这颜色是黑色的概率。分析：取出3个球看到是同一颜色，这个是事实了，一定发生了，因此，我们常说条件不是概率，或者说具体到这个事件一定发生了。但是在总体看来，发生这个条件本身有概率。即：我们设都是同一颜色的事件是A,颜色是黑色的事件是B。B是在已经知道颜色是同一颜色的条件下的事件。P(AB)=(63)(113)=433P(AB) =

置信区间的总结@(概率论)置信区间的定义：设θ\theta是总体X的未知参数，X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n是来自总体的样本，对于给定的α,(0<α<1),\alpha,(0 < \alpha < 1),如果两个统计量满足：P(θ1<θ<θ2)=1−αP(\theta_1 < \theta < \theta_2) = 1 - \alpha, 则称随机区间(θ1,θ2)(\th

已知相关系数求解联合分布律@(概率论)设随机变量X与Y的分布律是： X 0 1 P 14\frac{1}{4} 34\frac{3}{4} Y 0 1 P 12\frac{1}{2} 12\frac{1}{2}且相关系数是ρxy=3√3\rho_{xy} = \frac{\sqrt 3}{3}则(X,Y)的分布律是？分析：这是可枚举的类型，也即直接列出：

边缘密度求解的细节@(概率论)根据定义，已知二维联合分布概率是f(x,y)f(x,y),则：fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dyf_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dyfY(y)=∫+∞−∞f(x,y)dxf_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx根据这个定义，很容易可以求解出边缘密度，但是有一个点需要特别指出，如下

令U=max(X,Y),V=min(X,Y)U = max(X,Y), V = min(X,Y),可以得到： UV=XY;U+V=X+Y;U−V=|X−Y|;UV = XY; \\U+V = X+Y; \\U - V = |X-Y|; 这三个是很容易想到的。由此可以得到U和V的表达式：U=(X+Y+|X−Y|)2U ={ (X+Y+|X-Y|) \over 2 } V=(X+Y−|X−Y

在数学期望的性质里有一个性质:随机变量X和Y相互独立，有：E(XY) = E(X)E(Y).事实上这里成立的充要条件是X和Y不相关即可。那么问，相互独立与不相关的关系是什么呢？独立性是指两个变量的发生概率一点关系没有，而相关性通常是指线性关系。如果两个变量不相关，指的是线性关系里不相关，但是不能说它们么有关系，可能是线性以外的其他关系。

由一道题目总结幂级数的收敛域问题@(微积分)这个知识点可以联想阿贝尔的12块钱，即收敛区间内绝对收敛，边界需要特别讨论。 函数项级数∑∞n=1(2x+1)nn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x+1)^n}{n}的收敛域为[−1,0)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯\underline{ [-1,0)}分析：首先想到通用形式是如何求解的。形如∑∞n=0an(x−x0)n\sum_{n

Z=X+Y型概率密度的求解@(概率论)Z=g(X,Y)Z = g(X,Y)总结过一次，一般方法是可以由分布函数再求导得到概率密度，计算一定更要小心才能得到正确的解。FZ(z)=P(Z≤z)=P(g(X,Y)≤z)=∫∫g(x,y)≤zf(x,y)dxdyF_Z(z) = P(Z\leq z) = P(g(X,Y)\leq z) \\= \int\int_{g(x,y)\leq z}f(x,y)d

分布函数F(x)=P{X≤x,−∞<x<+∞}F(x) = P\{X \leq x , -\infty < x < +\infty \}分布函数天然满足的性质有：0≤F(x)≤1;limn→−∞F(x)=0;limn→+∞F(x)=10 \leq F(x) \leq 1; \lim \limits_{n\rightarrow{-\infty}}F(x) = 0; \lim \limits_{n\r

二维随机变量函数卷积公式的推导@(概率论)给定Z=g(x,y)Z = g(x,y) 通常需要求FZ(z),fZ(z)F_Z(z),f_Z(z)这里是由两个变元依据关系映射到一个变元，因此，求得FZ(z)F_Z(z)后，很容易求得fZ(z)f_Z(z),只是一个求导的过程。一般求解FZ(z)F_Z(z)，可用的思路是： FZ(z)=P(Z≤z)=P(g(X,Y)≤z)=∫∫g(x,y)≤zf(x,

二维联合分布的密度函数计算@(概率论)已知随机向量(X1,X2)(X_1,X_2)的概率密度为f(x1,x2)f(x_1,x_2),设Y1=2X1,Y2=13x2Y_1 = 2X_1,Y_2 = {1\over 3}x_2,则随机向量(Y1,Y2)(Y_1,Y_2)的概率密度f(y1,y2)=?f(y_1,y_2) = ?分析：与在一维的情况相同，也需要从概率分布入手。即： F2(y1,y2)=P

分段函数或含绝对值符号型自由项非齐次线性微分方程求解思路@(微积分)总体思路是：分段分别求解，再根据连续性确定待定系数。比如：求解微分方程y″+4y=3|sinx|在[−π,π]y''+4y = 3|sinx|在[-\pi,\pi]上的通解。分析：分别考虑。y″+4y=−3sinx,x∈[−π,0]y''+4y = -3 sinx , x \in [-\pi,0]y″+4y=3sinx,x∈[0,π

max(X,Y),min(X,Y)的期望求解@(概率论)核心是去max和min符号。max(X,Y)=12(X+Y+|X−Y|);min(X,Y)=12(X+Y−|X−Y|);max(X,Y) = \frac{1}{2}(X+Y+|X-Y|); \\min(X,Y) = \frac{1}{2}(X+Y- |X-Y|); 举个应用的例子： 随机变量X,Y相互独立同分布，均服从正态分布N(μ,