CodeForces 126D

最新推荐文章于 2024-02-14 12:52:20 发布

u011008379

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分类专栏：其他OJ -------- 动态规划 --------

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博客解析了CodeForces 126D题目，该题目涉及斐波那契数列和动态规划。通过求解不超过10^18的斐波那契数并存储，利用动态规划方法计算给定数字的不同斐波那契分解方式数量。文章讨论了状态转移方程和初始状态的设定，并分享了代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这道题表面上是说斐波那契数列，看似是一道找规律的数学题，而实际上却是一道DP题。

大体思路：题目输入的数字很大，乍一看，好像需要求出几千位斐波那契数，实际上，只要求出87个斐波那契数就足够了。这也是这道题的第一步，求出小于等于10^18的斐波那契数，并保存在fib数组中。fib数组从1开始存储，则每个斐波那契数的下标对应它们在斐波那契数列中的位置。然后，从最大斐波那契数开始，找出一个组成n的一组斐波那契数的序号，并保存在seq数组中（详见代码）。用sort从小到大对seq排序，使得数组中的斐波那契数的下标从小到大排列，与dp数组的第一维下标对应。然后开始标准的动态规划，其中dp[i][1]表示拆分下标为seq[i]的斐波那契数时的情况数，dp[i][0]表示不拆分下标为seq[i]的斐波那契数时的情况数。初始状态，为dp[0][0]=1，dp[0][1]=(seq[0]-1)/2；状态转移方程为dp[i][0]=dp[i-1][0]+do[i-1][1]，dp[i][1]=dp[i-1][0]*((seq[i]-seq[i-1]-1)/2)+dp[i-1][1]*((seq[i]-seq[i-1])/2)。要明白这个初始状态和状态转移方程，那就要明白斐波那契数列中第i个斐波那契数有几种替代方案，答案是(i-1)/2，想明白这个，上面的式子就好理解了。

补充：这是我第一次在CF上提交代码，发现要把DEV中的“system（“PAUSE”）;”去掉，否则会WA。此外大家还可以参考一下几篇大神的博文：2014工大校赛题目以及解，codeforces 126D Fibonacci Sums 递推 DP，Codeforces 126D Fibonacci Sums 求n由任意的Sum(fib)的方法数 dp。

代码（GUN C++）：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio> 

#define MAX 90
using namespace std; 

__int64 fib[MAX],dp[MAX][2];    //dp[i][0]表示fib[seq[i]]不被拆分，dp[i][1]表示fib[seq[i]]被拆分 
int seq[MAX];

void init()
{
    int i; 
    fib[1]=1;
    fib[2]=2;
    for(i=3;i<MAX;i++) fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
    //for(i=1;i<MAX;i++) cout<<fib[i]<<'\t';
}

int main()
{
    int i,t,c;
    __int64 n;
    init();
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%I64d",&n);
        c=0;
        for(i=MAX-1;i>0&&n!=0;i--)
        {
            if(fib[i]<=n)
            {
               seq[c++]=i;
               n-=fib[i];          
            }                 
        }        
        sort(seq,seq+c);
        //for(i=0;i<c;i++) cout<<seq[i]<<endl;
        dp[0][0]=1;
        dp[0][1]=(seq[0]-1)/2;
        for(i=1;i<c;i++)
        {
            dp[i][0]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1];
            dp[i][1]=dp[i-1][0]*((seq[i]-seq[i-1]-1)/2)+dp[i-1][1]*((seq[i]-seq[i-1])/2);            
        }
        printf("%I64d\n",dp[c-1][0]+dp[c-1][1]);       
    }       
    //system("PAUSE");   提交CF时要注释掉                             
    return 0;
}

题目（ http://codeforces.com/problemset/problem/126/D）：

Fibonacci numbers have the following form:

F1 = 1, F2 = 2, Fi = Fi - 1 + Fi - 2, i > 2.

Let's consider some non-empty set S = {s1, s2, ..., sk}, consisting of different Fibonacci numbers. Let's find the sum of values of this set's elements:

$\text{[math]}$

Let's call the set S a number n's decomposition into Fibonacci sum.

It's easy to see that several numbers have several decompositions into Fibonacci sum. For example, for 13 we have 13, 5 + 8, 2 + 3 + 8 — three decompositions, and for 16: 3 + 13, 1 + 2 + 13, 3 + 5 + 8, 1 + 2 + 5 + 8 — four decompositions.

By the given number n determine the number of its possible different decompositions into Fibonacci sum.

Input

The first line contains an integer t — the number of tests (1 ≤ t ≤ 105). Each of the following t lines contains one test.

Each test is an integer n (1 ≤ n ≤ 1018).

Please do not use the %lld specificator to read or write 64-bit integers in C++. It is preferred to use the cin, cout streams or the%I64d specificator.

Output

For each input data test print a single number on a single line — the answer to the problem.

   Sample test(s)
 

     input
   
2
13
16

     output
   
3
4

Note

Two decompositions are different if there exists a number that is contained in the first decomposition, but is not contained in the second one. Decompositions that differ only in the order of summands are considered equal.