现代数学思考方法发生了什么转变？这本书刷新了很多人的认知！

转载于 2025-12-01 16:01:48 发布 · 7 阅读

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数学到底是什么？

数学及其思想是如何从古代、中世纪、近代一路走向现代的？

这其中经历过怎样的转折？

我们为什么要了解数学的发展脉络？

远山启在其《数学与生活》系列中非常注重不同数学领域、不同数学知识之间的联系，而且是既有知识之间逻辑推理的联系，也有历史发展的先后承继的联系，让读者对数学产生可亲近感。

来源 | 《数学与生活5：数学的历史、现代与方法》

作者 | [日]远山启

译者 | 武晓宇

构成式方法

古代数学是经验性的，并且是归纳性的；中世纪数学是演绎性的，并且是静态的而非动态的；近代数学是动态的；现代数学则如我刚才所言，是关于结构的，即构成式的。数学最终发展成了现代数学，可以创造出结构。

最典型的构成式的东西是建筑。建筑是将自然存在的材料按照人的意图重新组合。建筑物并非天然存在，而是人先设定某种目标，再使用与目标相符的东西构建而成，所以建筑物是构成式的。

数学经过发展也已经变为这种构成式的东西，如同建筑师建造出新的建筑物一样，数学这门学问也能够创造出新的结构。

当然，数学创造的这些新结构，并不一定存在于现实之中。

当下的科学也已经向构成式的方向发展。以化学为例，之前的化学主要是分析自然中存在的物质是如何构成的，比如弄明白水是H₂O，但化学后来的发展方向则更多是研究如何创造出之前不存在的东西。这些创造物在我们身边随处可见，比如合成纤维。合成纤维与棉麻等天然存在物不同，是人工合成创造出的材料。合成能改变天然存在的物质的结构。例如，煤炭虽然是天然存在的，但将它分解为氧元素、碳元素等后，就可以再按照一定目的重新构成。

科学创造出了非常多自然中不存在的合成物，与之类似，数学则创造出了很多自然中不存在的结构。人类的学问并非只有数学发展成了构成式的，而是几乎所有的学问都发展成了构成式的。

人造卫星也是一个典型的例子。月球是地球的天然卫星，而人类也为地球制造出了人造卫星。当然，人造物质也并非都是对人类有益之物，也有有害物质，比如人工甜味剂。人工甜味剂对人体健康可能存在比糖更多的危害。这类人造物质之所以未能成为有益之物，我想是因为技术的力量还不充分。也就是说，化学还未充分发展，所以才会合成出这类无益之物。虽然化学会合成出有毒物质，但对元素之间进行新的组合，确实能创造出新的物质。

与之类似，数学中也有很多这样的事情。这也是现代数学与近代数学在思考方法上的不同之处。

近代数学相当于用精密的显微镜去观察自然本身。例如，前文说过，微积分相当于精巧的相机镜头，能够拍摄出自然的照片让我们进行细致的分析和观察。然而，现代数学则不再局限于这种做法。近代数学的分析方法是科学发展的必经阶段，就像化学在合成新物质之前，必须研究元素之间的结合力和反应规律一样。现代数学虽然以近代数学的思考方法为基础，但所做的事情却大为不同，其思考方法已经变为构成式的了。

不仅是建筑物，绝大多数工业所做的事情都是构成式的。很多人觉得数学晦涩难懂，我想原因可能就在于此，也就是说数学之前虽然是用于精密观察自然之物，但现在已经发展为构成式的了。现在的数学是用来创造新东西的，而这种思考方法上的转变，很多人并没有注意到。其实，数学的这种转变非常符合人类本身的发展。人类随着自身能力的逐渐增强，自然而然地会从观察走向创造。在人造之物大量出现之时，数学发生这种转变，只不过是恰好跟上了人类前进的步伐而已。

现代数学、艺术与科学

从更广泛的意义上说，古代数学、中世纪数学、近代数学与艺术中的“自然主义”或者说“写实主义”非常类似，它们都需要将存在的东西忠实地描绘出来，就像照片那样。

但是，现代数学却并非如此，它更像是20世纪以来的抽象画，或者说是具有超现实主义的倾向。虽然没有离开现实，却不是照片那样的东西。毕加索的画中经常有两张脸重叠在一起的情况，他的画就不是照片一样的东西，而是会因观看者的角度不同而呈现不同的内容。以前的绘画是忠实地捕捉、呈现自然的真实面貌，而20世纪之后则不一定是这样了。

这种新方法不脱离现实，但会对现实的某个侧面进行极端夸张。与绘画中的这种风格极为相似的，是前文提到过的以希尔伯特的《几何基础》为起点的现代数学的思考方法，也就是关于结构的思考方法。数学发生这种转变的时期，刚好是绘画中的抽象派，或者超现实主义出现的时期。现代数学的思考方法与它们非常相似。

至于数学的变化是否与艺术流派的变化存在某种关系，这恐怕需要专门的研究者来研究了。不过，数学与绘画在同一时期都转向同样的新思考方法，这实在是非常有趣的一件事。

结构这种思考方法，在历史上是最先出现在数学中的。最近，数学的这种思考方法开始“传染”其他学科，在各领域都扩散开来。在很多研究领域中出现了一种名为“结构主义”的思考方法，如心理学、语言学、文化人类学……结构的思考方法在这些领域中广为发展。因此，结构这个概念并非仅限于数学，而是一个更加广泛的概念。关于结构在其他领域中是如何发展的，我作为非专业人士不敢多言，各位如果有兴趣可以自己阅读相关学者的研究作品，想必也会非常有趣。

然而，由于结构的思考方法在20世纪之后才逐渐发展，因此对于“这种思考方法是万能的吗”“可以把数学简单地称为‘结构的科学’吗”这类问题，人们仍然存在一定的疑虑。

动态体系

前文说过，结构这种思考方法（构成式方法）最典型的例子就是建筑物。建筑物一般建成后就不会再动，至少目前为止，动态建筑这种东西是难以想象的。所以，建筑物是静态的，而非动态的。建筑物一旦建造完成，我们就不会再去想要移动它。虽然最近也出现了一些旋转建筑，但这些都是特例，我们通常居住的住宅都不会动。

从这个意义上说，结构这个概念似乎是非动态的，是静态的。在此，我们能看到结构这一概念是具有界限的。用结构去观察多种事物时，似乎只能捕捉到静态的那一面，而动态的那一面则显得非常模糊。

例如，有一些东西具有结构，而且其结构会经常发生变化。生物的身体就是这种情况。生物的身体具有非常复杂的结构，并不是细胞的简单集合。细胞之间通过非常复杂的关系相互连接。生物的身体结构复杂，且这种结构是不停变化的。例如，人的身体从出生后就会不断发育、成长，并最终走向衰老和死亡；昆虫的身体还会经历变态阶段，更是会发生巨大的变化。

也就是说，当我们说结构不变化时，通常是指空间上的不变化，而非时间上的不变化。在实际的情况中，结构是存在变化的，也就是时间上的变化。所以，如果只考虑结构这个角度，就会产生过于强调空间这一面，而忽视时间那一面的倾向。

这种倾向对于建筑物来说或许正合适，但在理解生物现象时就会显得局限。生物是变化之物，从这一点来看，研究生物需要创造出能兼顾空间、时间两方面的新概念。否则，我们就无法把握动态的那一面。

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