26、字符串问题的模型检查：理论、优化与对比

字符串问题的模型检查：理论、优化与对比

1. 多值 μ - 演算的模型检查基础

在处理封闭的 $L^k_{\mu}$ 公式 $\phi$ 时，我们可以通过对 $\phi$ 的结构进行归纳来计算集合 $[[\phi]]_T$。对于形如 $\mu X.\psi$ 或 $\nu X.\psi$ 的不动点子公式，我们可以使用 Knaster - Tarski 不动点迭代方法。对于最小不动点公式，我们将 $X$ 绑定到空集，然后在转换系统 $T$ 上计算 $\psi$ 的值，接着将 $X$ 绑定到这个 $k$ 元组集合，如此循环直到达到不动点。对于最大不动点，我们则从集合 $S^k$ 开始迭代。

多值 μ - 演算的模型检查问题之前已有研究。实际上，它与普通 μ - 演算（由所有元数为 1 的公式组成）的模型检查在概念上并无差异。存在一种从检查元数为 $k$ 的公式到检查转换系统的 $k$ 重积上元数为 1 的公式的简单约简方法。其复杂度的主要参数之一，除了公式的元数，就是其交替深度，它直观地衡量了不同类型不动点的嵌套深度。对于没有这种嵌套的公式，我们将其交替深度设为 1。

下面的命题总结了模型检查 $L^{\omega} {\mu}$ 的复杂度：
命题 1：给定一个具有 $n$ 个节点的转换系统 $T$ 和一个交替深度为 $d$ 的封闭 $L^k {\mu}$ 公式 $\phi$，可以在时间 $O((|\phi| \cdot n^k)^{\lceil d/2 \rceil})$ 内计算出 $T$ 中满足 $\phi$ 的所有 $k$ 元组节点的集合。

2. 定义字符串问题

我们考虑三个字符串问题：最长公共子串、最