71、数学哲学中的直觉主义与逻辑主义

数学哲学中的直觉主义与逻辑主义

1. 集合论公理的力量与实用性原则

在数学领域，某些公理的加入会极大地增强理论的强度。例如，当我们引入替换公理时，会引发无穷的爆发，理论强度大幅提升。而且，该公理模式还具有实用性，能将某些构造推广到任意基数。所谓“可验证的结果”，可能指的是我们认为清晰明确的数学部分，这些部分可能包含一些证明困难，但使用新公理后易于证明的定理，以及可以通过实验验证的关于自然数的定理。

由此，我们可以引出一个重要原则——力量与实用性原则：集合的宇宙由那些提供强大方法且具有丰富可验证结果的公理所决定。这一原则让人联想到宇宙学中的人择原理。人择原理用于解释为何物理学的基本常数似乎对我们极为有利，因为哪怕这些常数的值稍有改变，就可能因没有恒星和行星而无法形成生命，宇宙将变得简单而乏味。从某种程度上说，上述原则也可以用人择原理来解释，即我们生活在一个不仅拥有最有趣的物理学，还拥有最有趣的数学的世界里。

2. 直觉主义数学

直觉主义是一种与传统数学基础研究截然不同的方法。最初，直觉主义不仅涉及数学哲学，直觉主义者还提议对数学进行根本性修订，并在构造性基础上重建数学。尽管如今直觉主义数学的研究仍在继续，但它已不如以往那样吸引数学家的关注。不过，当前大多数修订数学基础的尝试仍与直觉主义相关。

直觉主义的主要倡导者是荷兰数学家L.E.J.布劳威尔。他在代数拓扑领域取得成功后，将研究转向数学基础，并致力于在直觉主义基础上修订数学。其他持有类似观点的数学家，如赫尔曼·外尔，也将这一计划视为他们关于数学基础理念的实现。这一思潮与形式主义背道而驰，在一定程度上是对形式主义的一种反应。希尔伯特对直觉主义影响力的增加及其可能产生的后果感到担忧，他认为自