31、合作博弈的解概念与表示形式

合作博弈的解概念与表示形式

1. 合作博弈的解概念

1.1 预核仁与核仁

在求解最小核心中的向量时，我们可以挑选那些使第二高赤字 (d_2 = \max{v(C) - x(C) | C \subseteq A, v(C) - x(C) < d_1}) 最小的向量，并移除其他支付向量。持续这个过程，直到幸存的支付向量集合稳定下来，最终得到的集合由单个支付向量组成，这个支付向量就是预核仁。如果在每一步只考虑分配方案（而非任意支付向量），就得到了核仁。核仁是一个有吸引力的解概念，它能识别出博弈中最稳定的结果。然而，其形式化定义涉及一个指数长度的向量，因此从第一性原理计算核仁并不容易。不过，对于一些基于组合结构定义的博弈类，存在计算核仁的高效算法。

1.2 核

核由所有玩家无法可信地要求另一个玩家部分支付的结果组成。对于任意玩家 (a_i)，相对于支付向量 (x) 对玩家 (a_j) 的盈余定义为 (suri,j(x) = \max{v(C) - x(C) | C \subseteq A, a_i \in C, a_j \notin C})。直观地说，这是 (a_i) 在没有 (a_j) 合作的情况下，通过要求集合 (C \setminus {a_i}) 加入偏离并按 (x) 支付每个玩家所能获得的金额。如果 (suri,j(x) > surj,i(x))，玩家 (a_i) 应该能够要求玩家 (a_j) 的部分支付，除非玩家 (a_j) 已经获得满足个体理性条件的最小支付 (v({a_j}))。对于超可加博弈 (G)，一个分配方案 (x) 在核中，当且仅当对于任意玩家对 ((a_i, a_j)) 满足以下条件之一：
1. (suri,j(