75、曲面网格的离散畸变：一种新的平均曲率估计方法

曲面网格的离散畸变：一种新的平均曲率估计方法

1. 引言

在研究曲面时，其内在属性（如亏格、欧拉 - 庞加莱特征、贝蒂数和可定向性）有助于对曲面进行拓扑分类；而切平面、某点的法向量和形状等属性则用于描述曲面的局部几何特征。从度量的角度来看，第一和第二基本形式、主曲率、高斯曲率、平均曲率和测地曲率等属性对于研究曲面至关重要。

在实际应用中，我们通常处理的是曲面的离散表示，如三角形网格（也称为三角化或多面体曲面）。由于这些曲面的度量属性通常是针对光滑曲面定义的，因此需要以离散且一致的方式来描述它们。目前，文献中提出了许多数值方法，但这些方法往往存在误差控制和估计方面的问题，并且计算复杂度较高。

曲率在理解曲面的几何和拓扑结构中起着关键作用。对于解析曲面，其数学基础已经得到了很好的发展，我们有测地曲率、法曲率、主曲率、平均曲率、高斯曲率和总曲率等概念，这些概念能够精确描述曲面在任何方向上的局部几何形状。

在离散情况下，根据高斯 - 博内定理，高斯曲率通常通过计算顶点处的总角度并除以其邻域面积来估计。然而，所有现有方法都存在近似误差，并且许多方法由于邻域的选择而存在收敛问题。这意味着曲率值强烈依赖于点的局部邻域面积，并且当面积趋近于 0 时（例如通过细化网格），曲率值通常会发散。此外，这些方法往往不重视曲面的（局部）几何形状，而在光滑情况下，曲率与几何形状密切相关。

集中曲率（也称为角度亏损方法）仅基于角度估计，具有许多优点：曲率值具有自然的含义，计算准确且简单。此外，集中曲率通过离散版本的高斯 - 博内定理描述了曲面的全局拓扑结构。但它不能描述曲面的局部几何形状。

平均曲率通常用于识别曲面的一些局部几何特征，如脊和谷。此外，平