14、惩罚线性回归算法解析与应用

惩罚线性回归算法解析与应用

1. 交叉验证与模型训练顺序

在实际操作中，通常先进行交叉验证，再在整个数据集上训练算法。交叉验证的目的是确定能够达到的均方误差（MSE）等性能水平，以及了解数据集所能支持的模型复杂程度。例如，在10折交叉验证中，实际上训练了10个模型，但无法直接从这10个模型中做出选择。最佳实践是在完整数据集上进行训练，并使用交叉验证结果来确定要部署的模型。

以某个示例来说，交叉验证在训练过程的第311步给出了0.59的最小MSE，这表明应部署在完整数据集上训练得到的第311个模型。

2. 使用Glmnet算法

Glmnet算法由斯坦福大学的Jerome Friedman教授及其同事开发，用于解决ElasticNet问题。ElasticNet问题结合了Lasso惩罚（绝对值之和）和岭惩罚（平方和）的广义惩罚函数。它有两个重要参数：
- λ ：决定系数惩罚相对于拟合误差的惩罚程度。
- α ：决定惩罚更接近岭回归（α = 0）还是Lasso回归（α = 1）。

Glmnet算法与LARS算法类似，都能生成完整的系数曲线。不同的是，LARS算法通过将系数量子累积到β中来推动曲线前进，而Glmnet算法则通过不断减小λ值来推动系数曲线前进。其关键迭代方程如下：
[
\tilde{\beta} j \leftarrow \frac{S\left(\tilde{\beta}_j+\frac{1}{1+\lambda(1 - \alpha)}\sum {i = 1}^{m}x_{ij}r_i,\la