13、惩罚线性回归：LARS算法与模型选择

惩罚线性回归：LARS算法与模型选择

1. ElasticNet公式

在惩罚线性回归问题中，ElasticNet公式采用了岭惩罚（ridge penalty）和Lasso惩罚的可调混合方式。它引入了另一个参数α，用于确定总惩罚中岭惩罚和Lasso惩罚各自所占的比例。当α = 1时，意味着只使用Lasso惩罚，而不使用岭惩罚。

要使用ElasticNet公式求解线性模型的系数，必须同时指定λ和α的值。通常的做法是先选择一个α值，然后求解一系列的λ值。在很多情况下，α = 1、α = 0或其他中间值之间的性能差异并不显著，但有时会有很大影响，因此有必要检查几个不同的α值，以确保不会不必要地牺牲性能。

2. 解决惩罚线性回归问题

确定惩罚线性回归模型实际上是一个优化问题。虽然有许多通用的数值优化算法可以解决相关的优化问题，但由于惩罚线性回归问题的重要性，研究人员开发了专门的算法，能够快速生成解决方案。这里将介绍两种算法：最小角回归（Least Angle Regression，LARS）和Glmnet。选择这两种算法是因为它们相互关联，并且与之前介绍的一些方法（如岭回归和前向逐步回归）有关。此外，它们训练速度快，并且可以作为Python包的一部分使用。

2.1 前向逐步回归算法

前向逐步回归算法的步骤如下：
1. 初始化所有的β值为零。
2. 在每一步：
- 计算已选择变量后的残差（误差）。
- 确定哪个未使用的变量能最好地解释残差，并将其加入到模型中。

2.2 最小角回归（LARS）算法

LARS算法由Bradley Efron、Tr