组合排列与概率计算实例解析

14、有五名患者需要心脏移植，而可供移植手术的心脏有三颗。有多少种方式可以列出接受移植的患者名单？有多少种方式可以列出五名患者中必须等待更多捐赠者的两名患者的名单？（前两个问题的答案应该相同。）按照手术执行顺序，可能的接受者名单可以有多少种？

可以使用组合和排列的方法来计算。

• 列出接受移植患者名单的方式数 （组合问题）为从 5 个元素中选 3 个元素的组合数。
• 列出等待患者名单的方式数 为从 5 个元素中选 2 个元素的组合数。
• 且从 5 个元素中选 3 个元素的组合数等于从 5 个元素中选 2 个元素的组合数。
• 按照手术顺序列出接受者名单的方式数 （排列问题）为从 5 个元素中选 3 个元素的排列数。

在 MATLAB 中：

• 计算从 5 个元素中选 2 个元素的组合数的代码为：
  matlab comb5t2 = prod(1:5)/(prod(1:2)*prod(1:3))

• 计算从 5 个元素中选 3 个元素的组合数的代码为：
  matlab comb5t3 = prod(1:5)/(prod(1:3)*prod(1:2))

• 计算从 5 个元素中选 3 个元素的排列数的代码为：
  matlab perm5t3 = prod(1:5)/prod(1:2)

15、假设一对夫妇的基因构成使得他们所孕育孩子有棕色眼睛的概率为3/4。假设两个孩子的眼睛颜色是相互独立的事件。那么这对夫妇有两个蓝眼睛孩子的概率是多少？有一个蓝眼睛孩子和一个棕眼睛孩子的概率是多少？有两个棕眼睛孩子的概率是多少？这些概率的总和是多少？

两个蓝眼睛孩子的概率：$(\frac{1}{4})^2$
一个蓝眼睛和一个棕眼睛孩子的概率：$2 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4}$
两个棕眼睛孩子的概率：$(\frac{3}{4})^2$
概率总和：$(\frac{1}{4})^2 + 2 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} + (\frac{3}{4})^2 = 1$

16、在五个孩子中，每个孩子有棕色眼睛的概率为 3/4，至少有两个孩子有棕色眼睛的概率是多少？

MAPLE：

sum(binomial(5,j) (3/4)^j (1/4)^(5 - j),j = 2..5);

MATLAB：

exact2 = prod(1:5)/(prod(1:2) prod(1:3)) (3/4)^2 (1/4)^3;
exact3 = prod(1:5)/(prod(1:3) prod(1:2)) (3/4)^3 (1/4)^2;
exact4 = prod(1:5)/(prod(1:4) prod(1:1)) (3/4)^4 (1/4)^1;
exact5 = prod(1:5)/(prod(1:5) 1)*(3/4)^5;
atleast2 = exact2 + exact3 + exact4 + exact5

17、下面给出了每1000人中预期死亡人数随年龄增长的函数关系。令人惊讶的是，指数拟合能很好地近似这些数据。已知年龄序列为[9,19,29,39,49,59,69,79,89]，对应的死亡率序列为[.3,1.5, 1.9, 2.9, 6.5, 16.5, 37.0, 83.5, 181.9]。分别给出在MAPLE和MATLAB中实现指数拟合的代码。

代码示例

MAPLE代码：

yrs := [9,19,29,39,49,59,69,79,89];
DR := [.3,1.5, 1.9, 2.9, 6.5, 16.5, 37.0, 83.5, 181.9];
pts := [seq([yrs[i],DR[i]],i = 1..9)];
plot(pts,style = POINT, symbol = CROSS);
lnpts := [seq([yrs[i],ln(DR[i]) ], i = 1..9)];
plot(lnpts,style = POINT,symbol = CIRCLE);
with(stats): lnDR := map(ln,DR);
fit[leastsquare[[t,y],y=a*t+b]]([yrs,lnDR]);
a := op(1,op(1,rhs(%)));
b := op(2,rhs(%%));
death := t -> exp(a*t+b);
J := plot(pts,style = POINT, symbol = CROSS):
K := plot(death(t),t = 0..90):
plots[display]({J,K});

MATLAB代码：

yrs = [9,19,29,39,49,59,69,79,89];
DR = [.3,1.5, 1.9, 2.9, 6.5, 16.5, 37, 83.5, 181.9];
plot(yrs,DR); % so data exp. like
lnDR = log(DR);
MT = [yrs;ones(size(yrs))]; % matrix of independent variable data
params = MT'\lnDR';
a = params(1); b = params(2);
f