22、组合数学、概率与信息论中的复杂性理论

组合数学、概率与信息论中的复杂性理论

1. 决策问题与复杂性理论基础

决策问题是形式系统中具有“是”或“否”答案的问题。例如，判断一个给定整数是否为素数的PRIME问题，以及给定 (g^a \bmod p) 和 (g^b \bmod p)，判断给定数 (C) 是否等于 (g^{ab} \bmod p) 的Diffie - Hellman决策问题。复杂性理论旨在理解和量化解决特定决策问题的难度。

在该领域的早期，数学家们试图应对形式系统中可证明性的局限性。1936年，艾伦·图灵证明了停机问题没有算法可以解决，即无法确定任意计算机程序在给定任意输入时是否最终会停止执行，这类问题被称为不可判定问题。同年早些时候，阿隆佐·丘奇发表了关于λ演算中一个问题不可判定性的证明，并且他们证明了λ演算和图灵机的概念本质上是等价的。20世纪30年代和40年代关于不可判定性理论的突破，源于对希尔伯特关于公理系统完备性以及是否存在不可解数学问题的回应，同时丘奇和图灵都受到了哥德尔在1930年发现的影响，即所有足够强大和精确的公理系统都是不完备的，包含在系统内无法证明的真命题。

数学中有不可数多个不可判定问题，例如波斯特对应问题。给定一系列字符串对 ((s_1, t_1), (s_2, t_2), \cdots, (s_k, t_k))，该问题询问是否存在子序列 ((s_{i_1}, t_{i_1}), (s_{i_2}, t_{i_2}), \cdots, (s_{i_r}, t_{i_r}))（其中 (1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_r \leq k)），使得 (s_{i_1} \parallel s_{i_2} \parallel \cdots \para