34、信号分析中的触发、平均、重叠与频谱量

信号分析中的触发、平均、重叠与频谱量

1. 触发（Triggering）

触发可用于定义测量的起始点，在涉及瞬态过程（如脉冲）或依赖于上级过程的测量（如发动机上依赖于点火正时的高频振动）时，触发尤为重要。

为了进行触发操作，测量信号会被存储在缓冲区中，旧数据会不断被新数据覆盖。在这种操作模式下，可以进行连续的数据（即所谓的自由运行分析）。当定义了触发时间后，会使用之前存储在内存中的值（预触发），这样分析可以获取触发事件发生之前的信号部分，或者实现信号的必要加窗操作。从触发条件满足开始的内存内容称为后触发。为了进行进一步处理，可以在触发条件满足一次后记录测量信号的一个块长度 (T)（单次触发），或者在每次触发条件满足后记录一个块（连续触发，重复模式）。后者是对多次测量进行平均的前提条件。

触发方式可分为内部触发和外部触发，具体取决于信号源：
- 内部触发 ：触发事件源自待分析的信号。这需要指定一个触发值，并在信号值超过（低 - 高边沿）或低于（高 - 低边沿）该值时触发。根据信号类型，还可进一步细分：
- 绝对值触发（直流，DC） ：在指定阈值处触发测量。直流触发可利用缓慢过程（如容器填充）作为触发条件。
- 幅值触发（交流，AC） ：将信号的变化与设定阈值进行比较，可理解为对信号进行高通滤波。当信号中存在不需要的直流分量（如由于传感器零漂）时，交流触发具有优势。
- 外部触发 ：需要额外的触发信号（如光栅的脉冲）。外部触发常用于依赖于更高级过程的数据记录开始的情况，例如内燃机的点火正时、循环重复加工过程中的终点位置或旋转轴的（相位）角度。对在时域中获取的值进行重复平均可以减少测量信号中的统计波动，并提高信噪比。如果触发信号存在噪声且易受干扰，可能会导致测量错误，此时建议对触发信号进行滤波。

以下是触发设置的相关信息：
|触发相关设置|详情|
| ---- | ---- |
|触发时间模式|连续、单次、重复触发|
|信号源|内部触发、外部触发|
|信号类型|绝对值（DC）、幅值（AC）、信号边沿（HL 或 LH）|

2. 平均与重叠（Averaging and Overlapping）

2.1 平均（Averaging）

在数学意义上，如果满足频带限制、混叠和时域周期性条件，通过离散傅里叶变换（DFT）可以精确确定周期信号的线谱。但在实际测量中，纯周期信号很少出现，通常会叠加噪声（如来自传感器）。很多情况下，信号仅由随机信号分量（噪声）组成，例如不规则道路轮廓对底盘的激励或湍流引起的振动。

如果从随机信号的测量信号中选取一个块长度 (T) 并通过 DFT 进行分析，最初会得到该信号频谱的一个大致估计。但仅基于一个块长度的单次估计会有较大的离散性，即进一步的测量会得到不同的频谱。增加测量值的数量并不一定会带来更好的估计。例如，增加块长度 (T) 会使用更多的测量值，但也会生成更多的谱线 (N)，这并不会使频谱平均化，而是减小了频谱中的谱线间距 (\Delta f)，从而提高了频率分辨率。

如果对多个块 (T) 进行平均，均值的估计会得到改善，从数学上讲，估计值会收敛到真实均值。前提是过程是平稳的（例如恒定速度的电机，而电机启动过程则不是平稳过程）。

平均可以通过不同的方式应用，具体如下表所示：
|平均方法|实现方式|应用场景|
| ---- | ---- | ---- |
|线性平均|每个频谱具有相同的权重（均方根）|短信号长度；减少随机信号的统计测量偏差|
|指数平均|最新的频谱权重最大，较旧的频谱权重呈指数递减|跟踪信号中缓慢时间变化的影响（如运行状态、参数变化）；统计测量偏差与频率无关|
|峰值平均|对具有最高幅值的频谱进行平均（非统计方法）|获取峰值（最坏情况场景）|
|时域平均|在时域中进行平均（正负幅值“平均掉”）|提高信噪比；周期性重复数据，需要通过触发进行同步；适用于瞬态信号和旋转机械|

线性平均对频谱的影响很明显，当对 5 个和 50 个块进行平均时，频谱会变得平滑，但对周期信号分量没有影响。

在实际应用中，需要确定所需的平均时间 (T_A)。一方面，估计平均时间有助于测量的规划；另一方面，它能提供有关已执行测量预期意义的信息。在进行测量时，可以观察平均过程并等待频谱稳定。所需的平均时间可以根据信号进行估计：
- 周期信号 ：对于测量的周期信号，平均考虑了测量链中的瞬态过程，通常会提高信噪比。从滤波器的建立时间来看，所需的平均时间是频谱中感兴趣的最小频率周期的 3 到 5 倍。如果感兴趣的最小频率等于频谱中的频率分辨率 (\Delta f)，则直接意味着对块长度 (T) 的三到五个块进行平均。但当窗口函数有效带宽 (B_{eff}) 内的频率线非常接近或存在调幅信号时，此方法会有局限性。在这种情况下，使用调制频率（拍频）而非信号中感兴趣的最小频率来确定平均时间，调制频率可以从时域表示中读取。
- 随机和瞬态信号 ：对于随机信号，以平稳噪声信号为基础，使用均值 (\mu = 0) 和均方根值 (x = 1) 的标准化正态分布进行统计描述。在该信号中，考虑具有有效带宽 (B_{eff}) 的频带。如果在平均时间 (T_A) 内进行测量，平均操作可视为一个额外的带宽为 (1/(2T_A)) 的带通滤波器。相对标准偏差 (\varepsilon) 的计算公式如下：
[
\varepsilon = \frac{\sigma}{x} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{B_{eff}T_A}}
]
相对标准偏差 (\varepsilon) 描述了测量均值与真实均值的偏差。有 68.3% 的概率，真实均值位于区间 (-\varepsilon) 到 (+\varepsilon) 内。当平均时间 (T_A) 为无穷大时，可得到真实均值。下表总结了常用 (\varepsilon) 值对应的 (B_{eff}T_A) 乘积：
| (\varepsilon) (dB) | (\varepsilon) (%) | (B_{eff}T_A) |
| ---- | ---- | ---- |
| 1 | 12.2 | 17 |
| 0.5 | 5.9 | 71 |
| 5 | 100 |
| 1 | 2500 |

从公式可以看出，平均时间由有效带宽（即频率分辨率或频谱中的最小频率）决定。较高的频率分辨率（较小的 (B_{eff})）需要更长的平均时间 (T_A)，因为更高的频率分辨率会增加所需的块长度 (T)。对于给定的平均时间 (T_A)，较低的频率分辨率可以得到更好的均值估计。

以下是一个计算平均时间的示例：
对于一个具有 (N = 4096) 条线、采样频率 (f_s = 2048) Hz 和汉宁窗的 FFT 分析，如果不希望相对标准偏差 (\varepsilon = 5\%)，计算所需的平均时间 (T_A)。
首先，计算频率分辨率：
[
\Delta f = \frac{f_s}{N} = \frac{2048}{4096} = 0.5 \text{ Hz}
]
使用汉宁窗，根据相关表格计算有效带宽：
[
B_{eff} = B_L \times \Delta f = 1.5 \times 0.5 = 0.75 \text{ Hz}
]
对于 (\varepsilon = 5\%)，从表中可知 (B_{eff}T_A = 100)，则所需的平均时间为：
[
T_A = \frac{100}{B_{eff}} = \frac{100}{0.75} = 133\frac{1}{3} \text{ s}
]

2.2 重叠（Overlap）

使用的窗函数会在每个块的窗口边界处使时间信号逐渐衰减。这是减少泄漏所必需的，但部分信号会被衰减而未被考虑。为了解决这个问题，可以将当前窗口的起始位置设置在前一个窗口结束之前，即窗口重叠。重叠以百分比表示，例如 75% 的重叠意味着窗口重叠 75%，在经过 25% 的时间后开始下一个窗口。

为了表示信号功率（均方根值的平方），窗函数会进行平方运算，得到所谓的功率加权。当对重叠的功率加权进行求和时，随着重叠率的增加，波纹会变小。当重叠率达到 66.67% 时，功率和保持恒定，进一步增加重叠率不会带来改善。虽然随着重叠率的增加，相同重叠信号部分会进行多次 DFT 分析，不会有统计上的改善，但在某些情况下（如无法在一个块中分析的脉冲信号），使用更高的重叠率可能是有用的。如果分析的是平稳信号的部分，被衰减的信号部分在统计上与被分析的信号部分是等效的。在这种情况下，重叠可以从有限长度的信号中提取最大的信息内容，或者缩短测量时间。通过重叠，可以得到与更长窗口不同的窗函数，其泄漏效应和有效带宽也会有所不同。在将各个频谱叠加为总频谱时，通常会对功率谱进行相加。可以通过将各个频谱之间的传输时间作为相位角来考虑相位分量。

以下是重叠对窗函数和功率和影响的示意：

graph LR
    A[无重叠窗函数] --> B[无重叠平方窗函数]
    C[75%重叠窗函数] --> D[75%重叠平方窗函数]
    E[66.7%重叠窗函数] --> F[66.7%重叠平方窗函数]
    G[50%重叠窗函数] --> H[50%重叠平方窗函数]
    style A fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px
    style B fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px
    style C fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px
    style D fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px
    style E fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px
    style F fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px
    style G fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px
    style H fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px

3. 频谱量（Spectral Quantities）

在频谱中，纵坐标值的表示方式因信号类型而异。这里需要区分信号是能量信号还是功率信号。

3.1 能量信号

能量信号具有有限的能量。对于瞬态信号，如单个脉冲，就满足这个条件。能量是瞬时功率对时间的积分。如果测量持续无限长的时间，测量到的功率会趋近于零。

3.2 功率信号

功率信号的特点是具有有限的功率。例如正弦振荡或随机噪声。功率作为振幅平方的平均和是恒定的。然而，信号的能量会随着测量时间的增加而增加，在无限长的测量时间下达到无穷大。

电气测量链最初只提供电场量电压 (U) 和电流 (I)。传递系数将测量链中的电量（以伏特为单位的电压 (U)）转换为测量量（物理量）。在信号处理中，能量和功率的表示与物理定义有所不同。电压 (U) 和电流 (I) 的乘积是功率 (P)。对于欧姆电阻 (R)，功率通常只用一个场量（通常是电压 (U)）表示为 (P = U^2/R)。在信号处理中，假设归一化的欧姆电阻为 (1\Omega)，则 (P = U^2)。这意味着功率不再以物理功率（如瓦特）表示，而是以伏特平方（(V^2)）表示。

在表示功率信号时，还需要进一步区分周期性信号（如正弦波）和随机信号（如噪声）：

3.3 周期性信号

周期性信号以幅值表示，相关的频谱称为幅值谱或幅度谱（MAG, Magnitude）。对于幅值为 (1V) 的正弦信号，频谱显示幅值为 (1V) 的谱线。偏差可能由使用的窗函数等因素引起。

也常用有效值（RMS, Root Mean Square）表示信号。对于幅值为 (1V) 的正弦信号，频谱中会得到 (1V/\sqrt{2} = 0.707V) 的谱线。不过，频谱中的有效值不是像在时域表示中那样通过平方和开方得到的，而是通过对幅值谱进行重新缩放得到的。因此，以这种方式形成的频谱中的有效值包含相位信息。

对有效值进行平方得到（归一化）功率 (P)。但通过平方，相位信息会丢失。这种频谱称为功率谱（PWR）。对于幅值为 (1V) 的正弦信号，在功率谱表示中会显示 (P = 0.5V^2)。平方操作会抑制信号中包含的小幅值（例如 (0.1V) 幅值在功率谱显示中会得到 (P = 0.005V^2) 的值），这可能会给人一种使用功率谱可以提高信噪比的错误印象。

从有效值或功率可以得到电平谱。通常使用 (1V_{eff}) 作为 (dBV) 的参考值，(0.775V) 作为 (dBu) 的参考值。如果频谱以幅值形式给出，则必须将其转换为有效值。对于幅值为 (1V) 的上述正弦信号，以 (1V_{eff}) 为参考值，得到的电平为 (L = 20 \times \lg(1V/\sqrt{2}/1V) = -3dB)。

如果不对频谱进行自乘，而是乘以自然对数，则得到所谓的倒谱（cepstrum，名称来源于英文 spectrum，前四个字母颠倒）。这种表示方式强调小幅值，常用于机器状态监测。

3.4 随机信号

由于随机平稳信号的傅里叶变换未定义，随机信号以功率谱密度（自功率谱、自谱、自谱密度或功率谱密度，PSD）表示。功率谱密度通过将信号功率 (P(f)) 除以频谱中的有效带宽 (B_{eff})（对于矩形窗，除以频率线间距 (\Delta f)）得到：
[
G_{xx}(f) = \frac{P(f)}{B_{eff}}
]
功率谱密度的单位是 (V^2/Hz)（或物理量的平方每频率，例如 ((m/s^2)^2/Hz)）。作为与分析仪设置无关的量，它以功率谱密度的平方根表示为电压谱密度，单位为 (V/\sqrt{Hz})。功率谱密度可以在时域或频域表示中可视化。

在时域表示中，信号通过中心频率为 (f_m)、带宽为 (B_{eff}) 的窄带滤波器进行滤波，然后根据相关公式形成其有效值 (x_M)。有效值的平方 (x_M^2) 是中心频率 (f = f_m)、带宽为 (B_{eff}) 的信号功率 (P(f))。如果滤波器的带宽减小 (B_{eff} \to 0)，从这个边界过渡可以得到单边谱功率密度：
[
G_{xx}(f) = \lim_{B_{eff} \to 0} \frac{x_M^2(f)}{B_{eff}} = \frac{d}{df}x_M^2
]
通过在计算有效值时进行平方操作，相位信息会丢失。单边功率谱密度仅针对频率 (f \geq 0) 定义。双边功率密度谱 (S_{xx}(f)) 关于纵坐标对称（即偶函数），其计算公式如下：
[
S_{xx}(f) = S_{xx}(-f) = \frac{1}{2}G_{xx}(f) \quad (f \neq 0)
]
信号的总功率 (P)（即有效值的平方 (x^2)）通过对所有滤波后的信号在频率上进行积分得到：
[
P = x^2 = \int_{0}^{\infty} G_{xx}(f)df = \int_{-\infty}^{\infty} S_{xx}(f)df = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S_{xx}(\omega)d\omega
]
这是根据帕塞瓦尔定理得出的，即在时间上积分和在频谱中在频率上积分得到相同的功率。因子 (2\pi) 是从频率 (f) 转换到角频率 (\omega) 时的缩放因子。

功率密度谱曲线下的面积对应于信号的与时间无关的总功率 (P)。

在频域表示中，可以想象一个等效的方法，即从信号 (x_T(t)) 在时间间隔 (T) 上形成复傅里叶谱 (X_T(f))。信号定义为 (t) 的正值，即在区间 (0 \leq t \leq T) 内。如果对双边谱中幅值的平方在无限长的测量时间 (T) 上求和，又可以得到真实谱：
[
S_{xx}(f) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} |X_T(f)|^2
]
对于给定的频率，复幅值 (X_T(f)) 进行平方，归一化到测量时间并计算极限值。平方操作再次消除了相位信息。DFT 和平方的顺序不能互换。

以下是频谱量相关概念的总结表格：
|信号类型|表示方式|特点|
| ---- | ---- | ---- |
|能量信号|具有有限能量，如单个脉冲|测量时间无限长时，测量功率趋近于零|
|功率信号|具有有限功率，如正弦振荡、随机噪声|功率以 (V^2) 表示|
|周期性信号|幅值谱、有效值谱、功率谱、电平谱、倒谱|不同表示方式有不同特点和用途|
|随机信号|功率谱密度|通过功率除以有效带宽得到|

以下是信号分析中频谱量相关操作的流程图：

graph LR
    A[信号输入] --> B{信号类型}
    B -->|能量信号| C[计算能量相关量]
    B -->|功率信号| D{周期性或随机}
    D -->|周期性| E[幅值谱、有效值谱等处理]
    D -->|随机| F[计算功率谱密度]
    C --> G[结果输出]
    E --> G
    F --> G
    style A fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px
    style B fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px
    style C fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px
    style D fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px
    style E fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px
    style F fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px
    style G fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px

综上所述，在信号分析中，触发、平均、重叠和频谱量的计算等操作都有其独特的原理和应用场景。正确理解和运用这些方法，可以更有效地处理和分析信号，提高测量的准确性和可靠性。无论是周期性信号还是随机信号，都可以通过合适的处理方法提取有用的信息，为实际应用提供有力的支持。