22、量子信息中的二部纠缠：理论与应用

量子信息中的二部纠缠：理论与应用

1. 二部纠缠的基础概念

在量子信息领域，二部纠缠是一个核心概念。通过观察纯二部态的边缘态，我们可以判断其是否纠缠。然而，对于密度矩阵，纠缠检测要困难得多，只有在低维情况下，通过所谓的佩雷斯 - 霍罗德基准则才能完全解决。

1.1 纠缠检测的命题

设二部系统 (S_1 + S_2) 由代数 (M_{d_1}(\mathbb{C}) \otimes M_{d_2}(\mathbb{C})) 描述，态 (\rho_{12} \in \mathcal{S}(S_1 + S_2)) 纠缠的充要条件是存在正映射 (\Lambda : M_{d_2}(\mathbb{C}) \to M_{d_1}(\mathbb{C}))，使得 (id_{d_1} \otimes \Lambda^+[\rho_{12}]) 不是正定的，其中 (\Lambda^+) 是 (\Lambda) 从态空间 (\mathcal{S}(S_2) = \mathcal{B}_1^+(\mathbb{C}^{d_2})) 到态空间 (\mathcal{S}(S_1) = \mathcal{B}_1^+(\mathbb{C}^{d_1})) 的对偶映射。

1.2 证明思路

可分态集合 (S_{sep}(S_1 + S_2)) 是纯可分态凸包在迹范数下的闭包。根据哈恩 - 巴拿赫定理，(S_{sep}(S_1 + S_2)) 可以通过超平面与任何纠缠态 (\rho_{ent}) 严格分离。利用迹范数和希尔伯特 - 施密特拓扑在有限维下的等价性，(R) 的作用可以用 (R = R^{\dagger} \in M_{d_1}(\mathbb{C})