叉乘分配律的几何证明

叉乘分配律的几何证明

方法1

叉乘常被用于计算机图形学求平面法向量计算。
叉乘的物理意义可以理解成力矩。力是可以合成与分解的，所以叉乘当然支持分配律。
下面使用几何的方式证明：

$$(\vec{a}+\vec{b})\times \vec{c}=\vec{a}\times \vec{c}+\vec{b}\times \vec{c}$$

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$$(\vec{a}+\vec{b})\times \vec{c}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AF})\times \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OF}\times \overrightarrow{OC}=S_{OFEC}\cdot \overrightarrow{n1}$$

$$\vec{a}\times \vec{c}=\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OC}=S_{OADC}\cdot \overrightarrow{n2}$$

$$\vec{b}\times \vec{c}=\overrightarrow{AF}\times \overrightarrow{OC}=S_{AFED}\cdot \overrightarrow{n3}$$

$\overrightarrow{n1},\overrightarrow{n2},\overrightarrow{n3}$分别是平行四边形$OFEC,OADC,AFED$的单位法向量

平面$OFEC,OADC,AFED$恰好围成一个三棱柱, 将其以$OFEC$为底平放，投影到三条平行棱的垂直平面后，得投影平面图：
投影的各边分别为各平行四边行的宽，即水平方向的高，

只要证明这三边等长垂直向量满足向量和，就能保证与面积为长度的垂直向量满足向量和。

作A’F’,AA’‘分别垂直并等长于A’F,A’O, 将A’F’平移到A’'P

过C，作DE垂直于AC，其中CD等于CE，
作CF垂直于BC，其中CB等于CF，

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容易证明

$$\angle ACB=\angle ECF$$

所以这两个三角形全等：
$$△ACB\cong △ECF$$

所以

$$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{EF}|=|\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CF}|=|\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CF}|$$

即
$$|\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CF}|=|\overrightarrow{AB}|$$

注意：

三棱柱侧面三个平行四边形面积大小是与棱边距离成比例的，而不以底边(即$|\vec{a}|,|\vec{b}|,|\vec{a}+\vec{b}|$)成比例.

很容易看出$\vec{c}$与$\vec{a}$,$\vec{b}$的夹角是不一定相等的，所以对应平行四边形的面自然不与$|\vec{a}|$,$|\vec{b}|$成比例。

方法2

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A,B,C,D,E在同一平面同。

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}$$

下面证明叉乘分配律:

$$\overrightarrow{AD}\times (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AC}$$

作辅助线

$IE\parallel AD$,
$JE\parallel AB$,
$AC\parallel BE$

$IG\perp AD$,
$EH\perp AD$,
$BF\perp AD$

因为CE = AB

又因为：

$\angle EJF=\angle BAF$,
$\angle EJF=\angle JEI$

$\angle BAF=\angle JEI$

所以直角三角形全等：

$$△CIE\cong △BFA$$

所以

CI = BF

于是

CG + BF = CG + CI = GI = HE

即

$$S_{ADC}+S_{ADB}=S_{ADE}$$

即

$$\overrightarrow{AD}\times (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AC}$$