距两点距离之比恒定点的轨迹

最新推荐文章于 2021-06-23 11:42:16 发布

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#角平分线轨迹 #两点距离比

这篇博客探讨了距离两点距离之比恒定的点的轨迹问题，通过角平分线的性质，证明了该轨迹为一个圆。作者首先提出问题，然后利用几何方法证明了这一结论，包括四点共圆的性质和相切情况的特殊情形。最终得出结论，当CD是∠ACB的角平分线时，点C的轨迹是一个圆，且圆上的任意点H与D的连线会平分∠AHB。

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距两点距离之比恒定点的轨迹

问题

到两点的距离之和不变的点轨迹是椭圆，到两点距离之差不变的点轨迹是又曲线，那么到两点距离之比不变点的轨迹是什么呢？

由于角平分线的特性，问题可以这样描述：
AB之间有一点D，在AB之外找一点C，所得CD是 $∠ACB\angle{ACB}$ 的角平分线，求C的轨迹。

在这里插入图片描述

三角形两腰的比例为： $ACBC=ADDB\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{DB}$
而这个比例固定，容易用解析几何的方法求出C的轨迹方程。结果是一个圆。

这里使用几何的方法证明，此圆上的任意一个点H，与D的连线将平分 $∠AHB\angle{AHB}$ 。

首先确定这个圆的位置与大小。

这个圆一定是过点C与D的

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