28、理解变化率与微积分中的导数和积分

理解变化率与微积分中的导数和积分

在数学和实际应用中，理解函数的变化率是非常重要的。本文将深入探讨如何计算瞬时变化率（导数）以及如何从变化率恢复原函数（积分），并通过Python代码进行实现和验证。

1. 计算瞬时变化率（导数）

1.1 瞬时斜率与导数的概念

为了找到函数在某一点的瞬时斜率，也就是瞬时变化率，我们可以通过计算越来越小的割线斜率来逼近。例如，对于体积函数，我们可以找到在 ( t = 1 ) 时的瞬时流量。代码中的 flow_rate 函数给出的结果与越来越小的割线斜率趋近的值相同：

>>> flow_rate(1)
0.421875

一个函数要有切线，必须是“光滑”的。当我们能在函数图像的某一点找到切线时，该切线的斜率就称为函数在该点的导数。例如，体积函数在 ( t = 1 ) 点的导数等于 ( 0.421875 ) 桶/小时。

1.2 构建瞬时流量函数

要实现 instantaneous_flow_rate 函数，我们面临一个问题：Python 无法直观地判断多个小割线斜率收敛到哪个值。因此，我们可以计算越来越小的割线斜率，直到它们在一定的小数位数上稳定。以下是不同割线区间及其斜率的表格：
| 割线区间 | 割线斜率 |
| ---- | ---- |
| 0.5 到 1.5 | 0.42578125 |
| 0.9 到 1.1 | 0.4220312499999988 |