22、寻找更小的向量空间

寻找更小的向量空间

在向量空间的研究中，线性相关和线性无关是两个重要的概念。如果一组向量中的任何一个向量都可以表示为其他向量的线性组合，那么这组向量就是线性相关的。例如，两个平行向量是线性相关的，因为它们是彼此的标量倍数。同样，三个向量 ${u, v, w}$ 可能是线性相关的，因为我们可以用 $u$ 和 $w$ 的线性组合来表示 $v$（或者用 $u$ 和 $v$ 的线性组合来表示 $w$ 等）。

相反，如果一组向量中的向量彼此不平行，且不能表示为其他向量的标量倍数，那么这组向量就是线性无关的。例如，集合 ${u, v}$ 是线性无关的，这意味着 $u$ 和 $v$ 所张成的空间比它们各自单独张成的空间更大。标准基 ${e_1, e_2, e_3}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的一组线性无关向量，它们共同张成了三维空间。

维度的定义

我们通过一个问题来引出维度的定义：集合 ${(1, 1, 1), (2, 0, -3), (0, 0, 1), (-1, -2, 0)}$ 中的三维向量是否线性无关？实际上，在三维空间中，只需要三个线性无关的向量就可以张成整个空间，所以任何包含四个三维向量的集合必然存在冗余。

一组线性无关且能张成整个向量空间的向量被称为基。任何空间的基所包含的向量数量是相同的，这个数量就是该空间的维度。例如，$(1, 0)$ 和 $(1, 1)$ 是线性无关的，并且它们张成了整个平面，所以它们是 $\mathbb{R}^2$ 的一组基。同样，$(1, 0, 0)$ 和 $(0, 1, 0)$ 张成了 $\mathbb{R}^3$ 中 $z = 0$ 的平面，它们是这个二维子空间的一组基。

标准基是一种特殊的基，例如