11、三维世界中的向量运算与图形渲染

三维世界中的向量运算与图形渲染

1. 向量叉积的长度

当输入向量位于两个坐标轴上时，很容易找到它们叉积的方向，即沿着剩余坐标轴的两个方向之一。一般来说，在不计算叉积的情况下，很难描述与两个向量垂直的方向。叉积不仅能确定方向，其长度也包含了有用的信息。

叉积的长度是一个数字，它能告诉我们输入向量的相对位置信息。与点积衡量两个向量的对齐程度不同，叉积更接近衡量“它们的垂直程度”。更准确地说，它表示两个输入向量所张成的平行四边形的面积。

例如，由向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 所围成的平行四边形的面积等于叉积 $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ 的长度。对于给定长度的两个向量，当它们垂直时，所张成的面积最大；而当它们方向相同时，不张成任何面积，叉积长度为零。

有一个三角函数公式可以计算这个平行四边形的面积：如果 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 之间的夹角为 $\theta$，则面积为 $|\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}| \cdot \sin(\theta)$。

下面通过一个例子来计算叉积：求 $(0, 2, 0)$ 和 $(0, 0, -2)$ 的叉积。这两个向量分别位于 $y$ 轴和 $z$ 轴上，所以叉积必须位于 $x$ 轴上。使用右手定则，将食指指向第一个向量的方向（正 $y$ 方向），弯曲手指指向第二个向量的方向（负 $z$ 方向），可以发现拇指指向负 $x$ 方向。叉积的大小为 $2 \cdot 2 \cdot \sin(90^{\circ}) = 4$，所以结果是 $(-4, 0, 0)$，即一个长度为 4 且方向为负 $x$