16、损失最小化与提升算法的泛化

损失最小化与提升算法的泛化

在机器学习领域，损失最小化是一个核心目标。不同的算法在实现损失最小化时采用了不同的策略，而提升算法（Boosting）在这方面有着独特的表现。本文将深入探讨功能梯度下降（Functional Gradient Descent）以及逻辑回归（Logistic Regression）与提升算法的紧密联系，同时介绍如何利用这些方法进行条件概率的估计。

功能梯度下降

AdaBoost算法可以从坐标下降（Coordinate Descent）的角度来理解，即将其视为对特定优化函数的坐标下降最小化。然而，这种观点在处理其他损失函数时可能会遇到计算困难，因为找到沿着最佳坐标的最佳调整并不容易。功能梯度下降为AdaBoost提供了另一种视角，并且这种新视角可以推广到其他损失函数，克服坐标下降视角可能存在的计算难题。

不同的泛化方式

在坐标下降视角中，目标函数被视为一组参数 $\lambda_1, \ldots, \lambda_N$ 的函数，这些参数代表了空间 $H$ 中所有基函数的权重。所有的优化操作都是通过操纵这些参数来实现的。

而新的视角则聚焦于整个函数，而非一组参数。目标函数 $L$ 现在将另一个函数 $F$ 作为输入。以与AdaBoost相关的指数损失为例：
[L(F) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} e^{-y_i F(x_i)}]
这里，$L$ 是一个泛函，即其输入参数本身是一个函数，目标是找到使 $L$ 最小化的 $F$（可能对 $F$ 有一些约束）。

为了优化上述方程，我们只关心 $F$ 在 $x_1, \ldots, x_m$ 处的值。因此