5、单维参数化模态逻辑中的关键概念与可满足性问题

单维参数化模态逻辑中的关键概念与可满足性问题

1. 基础定义与映射性质

定义一个映射 $\tau : \wp(W) \times W \to \wp(W)$，使得对于所有的 $B \in \wp(W)$ 和所有的 $v \in W$，有 $\tau(B, v) = \tau_B(v)$。接下来需要验证对于所有的 $B \in \wp(W)$，条件 (C0)、(C1) 和 (C2) 都成立。
- (C0) 的验证 ：除了 $B \nsubseteq f[A’]$ 且 $v = v_B$ 的情况外，对于每个 $v \in W$，都有 $\tau_B(v) = \sigma(B, v)$，所以 (C0) 成立。
- (C1) 的验证 ：假设 $A’ \cap (B \times \Lambda) \neq \varnothing$，分两种情况讨论：
- 当 $B \subseteq f[A’]$ 时，因为 $sR(f[A’])t$，所以 $sR(B)t$，进而 $det(B, s, t) = \varnothing$。又因为 $B \subseteq f[A’]$，对于所有的 $v \in W$，有 $\tau_B(v) = \sigma(B, v)$，所以对于所有的 $w \in W$，$\sigma(B, v) \oplus \tau(B, v) = \varnothing$，从而 $\bigcap{\sigma(B, v) \oplus \tau(B, v) : v \in B} = \varnothing$，故 (C1) 成立。
- 当 $B \nsubseteq f[A’]$ 时，除了 $v = v_