30、组合逻辑设计中的编程最小化方法

组合逻辑设计中的编程最小化方法

1. 编程最小化方法概述

逻辑最小化是一个复杂的过程。在实际的逻辑设计应用中，通常会遇到两类最小化问题：变量较少的函数，可通过之前介绍的方法直接观察得出结果；而更复杂的多输出函数，则需要借助最小化程序来解决。

对于变量较少的函数，可使用卡诺图法进行可视化最小化。而对于任意数量变量的函数（至少理论上），可以采用表格法——奎因 - 麦克拉斯基算法（Quine - McCluskey algorithm）。该算法与所有算法一样，可转化为计算机程序，且和卡诺图法类似，包含两个步骤：
- 找出函数的所有质蕴含项。
- 选择一个最小的质蕴含项集合来覆盖该函数。

本文主要考虑完全指定的单输出函数，无关项和多输出函数可通过对单输出算法进行简单修改来处理。

2. 乘积项的表示

奎因 - 麦克拉斯基最小化算法的起点是函数的真值表或最小项列表。若函数的指定方式不同，则需先将其转换为这种形式。例如，任意的 n 变量逻辑表达式可通过展开（可能会用到德摩根定理）得到积之和表达式。得到积之和表达式后，每个 p 变量的乘积项会在最小项列表中产生 (2^{n - p}) 个最小项。

n 变量逻辑函数的最小项可以用一个 n 位整数（最小项编号）表示，其中每一位表示相应变量是取反还是不取反。但最小化算法还需处理非最小项的乘积项，即某些变量可能根本不出现。因此，在一般的乘积项中，每个变量有三种可能的表示：
- 1：未取反。
- 0：取反。
- x：不出现。

这些可能性在乘积项的立方体表示中，用上述数字组成的 n 位字符串来表示。例如，对于最多包含八个变量