13、图像盲反卷积的空间域收敛与稀疏正则化分析

图像盲反卷积的空间域收敛与稀疏正则化分析

1. 空间域收敛分析

在空间域收敛分析中，我们关注的是矩阵特征值与点扩散函数（PSF）的关系。当固定PSF的大小时，最小特征值会随着PSF的扩展而变化。随着扩展的增加，PSF会趋向于均匀PSF，最小特征值在达到一定扩展值后会趋近于一个常数。

对于一维信号和高斯模糊的简单情况，我们可以推导出连续域等效的最小特征值的闭式表达式。在这种情况下，导数滤波器和低通滤波器的平方幅度响应之和可以表示为：
[G(\omega) = \omega^2 + e^{-\sigma^2\omega^2}]
其中，(\omega) 是连续域频率变量，(\sigma) 是高斯模糊的扩展。该式的第一项来自导数操作（高通滤波器），第二项来自高斯低通滤波器。(G(\omega)) 的最小值出现在 (\omega^2 = \frac{\ln\sigma^2}{\sigma^2}) 处，其值为：
[\lambda_{G_{min}} = 1 + \frac{\ln\sigma^2}{\sigma^2} = f(\sigma)]
这里，(\lambda_{G_{min}}) 是 (G(\omega)) 取得最小值的点。这表明，即使卷积矩阵 (K) 随着迭代不断变化，最小特征值 (\lambda_{min}) 也可以表示为模糊参数 (\sigma) 的函数。

基于此，我们可以将非负函数 (d(.,.)) 写为：
[d(x, x_1) = f(\sigma) | x - x_1 |^2]
由于PSF大小保持固定，我们将 (\lambda_{min}) 视为仅与PSF扩展有关的函数。对于其他类型的模糊，可以找到 (\lamb