7、磁共振图像重建的正则化技术

磁共振图像重建的正则化技术

1. 逆问题的正则化

正则化方法在解决逆问题中起着关键作用。在逆问题里，通过模型的观测输出来推断表征该模型的参数值。过去50年，随着工程应用中对逆问题的关注度不断增加，由于逆问题的不适定性，正则化方法的发展和分析变得十分必要。特别是在存在测量误差的情况下，测量数据和模型参数之间缺乏连续依赖性，这往往导致逆问题只能得到近似解。正则化方法就是用于分析这类修正问题的过程，它引入了一些由正则化参数加权的先验知识，该参数编码了近似程度。

1.1 线性算子方程示例

抽象层面上，不适定逆问题的典型例子是线性算子方程：
[Ax = b]
其中，(b)表示测量向量，(x)表示模型参数，(A)是线性算子，其广义逆(A^{\dagger})是无界的。例如图像恢复问题，相机系统拍摄的模糊图像需要恢复，直接或正向问题是拍摄清晰图像。由于噪声导致测量误差，观测到的模糊图像表示为(b = b_0 + n)。已知模糊图像(b)和模糊算子(A)，寻找未模糊清晰图像(x)的近似值(\hat{x})的过程就是逆问题，通常称为图像去卷积问题。正向问题、正向模型和相应逆问题的示意图如下：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px

    A([未观测输入 x*]):::startend -->|正向问题| B(可观测输出 b):::proce