3、线性、非线性、非光滑及时间延迟系统理论基础

线性、非线性、非光滑及时间延迟系统理论基础

1. 线性与非线性系统理论基础

在系统理论中，线性时不变系统是一个重要的研究对象。其表达式为：
(\dot{x} = Ax + Bu) (1.4)
这里，(x \in R^n) 是状态向量，(u \in R^m) 是控制输入，(A \in R^{n\times n})，(B \in R^{n\times m})。该系统的解为：
(x(t) = e^{A(t - t_0)}x(t_0) + \int_{t_0}^{t} e^{A(t - \tau)}Bu(\tau) d\tau)

当令 (t_0 = kT) 和 (t = (k + 1)T)（(k) 为离散时间索引，(T) 为采样周期）时，可得到精确的离散时间模型：
(x(kT + T) = e^{AT}x(kT) + \int_{kT}^{kT + T} e^{A(kT + T - \tau)}Bu(\tau) d\tau)

若采用零阶保持，控制输入变为 (u(t) = u(kT))，(kT \leq t < (k + 1)T)，则有：
(x[k + 1] = e^{AT}x[k] + \left(\int_{0}^{T} e^{A\sigma} d\sigma\right)Bu[k])
其中 (x[k] \triangleq x(kT))，(u[k] \triangleq u(kT))。

下面介绍一些重要的引理：
- 引理 1.23 ：对于任意 (a, b \in R^n) 和任意对称正定矩阵 (\Phi \in R^{n\times n})，有 (2a