3、线性、非线性系统及相关理论基础概述

线性、非线性系统及相关理论基础概述

在控制理论和系统分析领域，线性与非线性系统理论、非光滑分析以及时滞系统理论等都是非常重要的组成部分。下面将对这些理论中的一些关键定义、引理和模型进行详细介绍。

1. 线性代数与矩阵相关引理

• 引理 1.23 ：对于任意的 $a, b \in R^n$ 和任意对称正定矩阵 $\varPhi \in R^{n\times n}$，有 $2a^T b \leq a^T \varPhi^{-1}a + b^T \varPhi b$。
• 引理 1.24（Rayleigh - Ritz 定理） ：设 $A \in R^{n\times n}$ 为对称矩阵，则对于所有的 $x \in R^n$，有 $\lambda_{min}(A)x^T x \leq x^T Ax \leq \lambda_{max}(A)x^T x$。其中，$\lambda_{min}(A) = \min_{x\neq 0^n} \frac{x^T Ax}{x^T x} = \min_{x^T x = 1} \frac{x^T Ax}{x^T x}$，$\lambda_{max}(A) = \max_{x\neq 0^n} \frac{x^T Ax}{x^T x} = \max_{x^T x = 1} \frac{x^T Ax}{x^T x}$。
• 引理 1.25 ：设 $A \in R^{n\times n}$，若 $\vert\vert\vert \cdot \vert\vert\vert$ 是任意矩阵范数，则 $\rho(A) \le